Salut, j´ai une petit pb en maths, si vous pouviez m´aider.Merci d´avance.

On veut trouver tous les triplets d´entiers naturels (a, b, c) tels que :
- a < b < c
-a divise b+c
-b divise c+a
-c divise a+b
-abc <(ou égale) 2058

1. On suppose qu´une solution (a, b, c) existe :
- démontrer que a + b < 2c , et en déduire que c=a+b

- démontrer que b divise 2a, et en déduire que b=2a et c=3a.

2. Détermination des solutions :
- démontrer que si a appartient à N* , b=2a et c=3a, alors les quatres premières conditions du système sont satisfaites.

- déterminer toutes les solutions du système.

-a divise b+c
-b divise c+a
-c divise a+b
Alors soit n tel que (b+c) = a.x
(c+a) = b.y
(a+b) = c.z
avec x, y et z entiers naturels
une conséquence immédiate et utile pour la suite, c´est que a, b et c sont non-nuls, sinon ils ne diviseraient rien du tout...

a < c et b < c donc a+b < 2c pas trop dur
(a+b) = z.c < 2.c
donc z < 2
donc z = 1.
donc c = a + b

y.b = c + a
y.b = b + 2.a
2.a = (y - 1).b
donc b divise 2a, cat y ne peut pas être égal à 1.
s´il l´était on aurait
(c+a) = b
(a+b) = c
et donc en remplaçant b 2.a + c = c
donc a = 0
et on a dit a non-nul.
donc on a bien b divise 2.a

2a = b.(y-1)
or a < b
donc 2a < 2b
b.(y-1) < 2.b
y-1 < 2
comme y-1 est un entier, obligatoirement y-1 = 1
donc y = 2
donc en remplaçant, b = 2a

ensuite, comme on sait a+b = c on obtient c = 3a.

2.
si b = 2a et c = 3a
a < b < c est évident
b+c = 5a est bien divisible par a.
c+a = 4a = 2.2a = 2.b donc b divise c+a
a+b = 3.a = c donc c divise a+b

on veut abc <= 2058
a.(2a).3a <= 2058
6.a^3 <= 2058
a^3 <= 343

or 343 = 7^3

Donc on a le choix entre 7 solutions selon a = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7.

"Alors soit n tel que (b+c) = a.x"

petite erreur, il faut bien sûr lire "Alors soit x tel que . .."

Ok, merci bcp. : )

Bô travail lak!!!!
; )

ouaip, faut avouer que celui la etait pas facile par rapport aux derniers.
Joli boulot.

Au fait lak tu fais quoi comme études ?

j´ai fini les études depuis 1998.
filière scientifique > prépa > école d´ingénieur ; o)