tonyFF10?????????????????????????
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Avant toute chose je vous prie de ne pas m´envoyer de virus ni de cheval de troy OK!
Ha beh tes dm ils sont balèzes lol. j´ai pu faire que les 2 premiers lol!
Q1:dmq (10n+3)/(15n+4) est irreductible?
soient :
A(n) = 10n+3
B(n) = 15n+4
montrons que le facteur commun à A(n) et B(n), noté q(n) vaut 1
si q(n) est un facteur commun à A(n) et B(n) alors il existe deux entiers a(n) et b(n) tels que:
A(n) = a(n).q(n)
B(n) = b(n).q(n)
on choisi n=0 ce qui donne
3 = a(0).q(0)
4 = b(0).q(0)
or 3/4 est irréductible ce qui implique que
q(0)=1 et a(0)=3 ; b(0)=4
on choisi encore n = 1 ce qui donne
13 = a(1).q(1)
19 = b(1).q(1)
or 13/19 est irréductible ce qui implique que q(1)=1 et a(1)=13 ; b(1)= 19
on montre alors que q(n) est constant et vaut 1
donc 10n+3 et 15n+4 ont un facteur commun q(n)= 1
Q2 dmq (x-1)^2 est facteur de x^n - n.(x-1) - 1
c´est bien si tu as deja vu le cours sur les polynômes
soit f(x) = x^n - n.(x-1) - 1
on fait x = 1 >> f(1) = 1^n - n(1-1) - 1 = 0 !
donc 1 est une racine de f(x)
montrons maintenant que 1 est une racine double de f(x), pour cela on fait f ´(x)
f ´(x) = n.x^(n-1) - n
donc f ´(1) = n.1^(n-1) - n = 0
On en déduit donc que 1 est une racine d´odre 2 pour le poly f(x)
donc il existe un polynome de degre n-2, q(x) tel que f(x) = (x-1)^2.q(x)
donc (x-1)^2 est facteur de f(x)
si tu n´a pas encore vu les poly
il va faloir factoriser f(x)
on a:
f(x) = x^n - n(x-1) -1
f(x) = x^n - 1 - n(x-1)
on x^n-1 =(x-1)(x^(n-1) + x^(n-2)+...+x^2+x +1)
donc
f(x)=(x-1)[(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x^1+x^0)- n ]
on arrange le facteur
q(x)=[(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x^1+x^0)-n ] en décomposant n en somme de 1: n=1+1+....+1+1+1
donc
q(x)=[x^(n-1)-1]+[x^(n-2)-1]+...+[x^2-1]+[x^1-1] +[x^0-1]
le dernier terme vaut 0
q(x)=[x^(n-1)-1]+[x^(n-2)-1]+...+[x^2-1]+[x-1]
on applique x^k-1 = (x-1)[x^(^k-1)+ . ..+x+1]
ce qui donne:
q(x)=(x-1)[[x^(n-2)+x^(n-3)+..+x^2+x+1]+[x^(n-3) +x^(n-4)+..+x^2+x+1]+....+[x+1]+1]
q(x)=(x-1)[x^(n-2)+2x^(n-3)+3x^(n-4)+...+(n-2)x+(n
-1)]
soit r(x)=somme[k=0-->n-2;(n-1-k)x^k] cela est vrai pour n>= 2
on a donc
f(x) = (x-1)^2.r(x)
donc (x-1)^2 est un facteur de f(x)
voilà pour le reste g pas encore trouvé LOL
g te conseille d´imprimer et de comprendre
si t´as des kestion mon icq : 153 427 595
