Panorama général[modifier]Globalement la mécanique quantique se démarque de la physique classique par deux aspects : des règles différentes quant à l'additivité des probabilités, et l'existence de grandeurs physiques ne pouvant se manifester que par multiples de quantités fixes, appelés quantas, qui donnent leur nom à la théorie.
Parmi ces postulats, le plus important[1] est probablement le principe de superposition. Selon ce principe, si un système physique peut se trouver dans ce qu'il appelle un état φ que Dirac note , et si de même il peut se trouver dans un état , alors il peut aussi se trouver dans un état linéairement composé :
Où α et β sont deux nombres complexes quelconques.
Autrement dit, l'ensemble des états possibles d'un système physique est un espace vectoriel.
Le point important est qu'un état superposé n'est pas un état traduisant une ignorance vis-à-vis de l'état réel du système, mais bien une indétermination intrinsèque au système, qui n'est ni dans l'état φ, ni dans l'état ψ. Ce point souleva de nombreux questionnements dans la communauté scientifique. En particulier, Schrödinger poussa l'idée jusqu'à son comble en l'appliquant à un chat qui ne serait, selon le désormais fameux paradoxe de Schrödinger, ni mort, ni vivant.
Le principe de superposition fut aussi analysé et critiqué par Einstein qui, avec Podolski et Rosen, imagina une expérience, dite expérience EPR, afin de le mettre en défaut. Une expérience comparable fut menée à la fin du vingtième siècle par Alain Aspect, qui confirma le principe de superposition.
Équation de Schrödinger[modifier]Article détaillé : Équation de Schrödinger.La formulation purement algébrique de Dirac peut paraître abstraite, mais elle eut le mérite de donner un cadre précis à la formulation alors en vogue à l'époque, en l'occurrence la mécanique ondulatoire de Schrödinger.
La formulation de Schrödinger s'intéresse au mouvement d'une particule dans l'espace. La base de l'espace vectoriel des états y est donc naturellement l'ensemble des états de position parfaitement déterminée. Ainsi, dans cette base, l'état d'une particule s'écrit :
Où φ(x,t) est une fonction scalaire, que Schrödinger appelle fonction d'onde. Schrödinger fait du temps un simple paramètre, et non une grandeur physique, ce qui fait de sa théorie une théorie essentiellement non relativiste.
En s'inspirant de l'équation de propagation électromagnétique, et à l'aide des relations de Planck et de De Broglie, Schrödinger parvient alors à exprimer l'évolution temporelle de φ(x,t) :
où H est un opérateur linéaire : l'hamiltonien du système considéré.
Interprétation physique de la fonction d'onde[modifier]L'interprétation physique de la fonction d'onde Ψ sera donnée par Born en 1926, et Dirac en fera plus tard son deuxième postulat, connu sous le nom de règle de Born : le module au carré de la fonction d'onde représente la densité de probabilité de présence de la particule considérée, c'est-à-dire que :
s'interprète comme étant la probabilité de trouver la particule dans un petit volume dV situé au voisinage du point de l'espace à l'instant t. En particulier, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, on a la condition de normalisation :
Cette interprétation statistique pose un problème lorsque le système quantique étudié est l'Univers entier, comme en cosmologie quantique. Dans ce cas, les physiciens théoriciens utilisent préférentiellement l'interprétation dite des « mondes multiples » d'Everett.
Méthodes de résolution[modifier]En dehors de quelques cas particuliers où on sait l'intégrer exactement, l'équation de Schrödinger ne se prête en général pas à une résolution analytique exacte. Il faut alors :
soit développer des techniques d'approximations comme la théorie des perturbations.
soit la résoudre numériquement. Cette résolution numérique permet notamment de visualiser la disposition curieuse des orbitales électroniques.
Formulation de la mécanique quantique par intégrale de chemin[modifier]Richard Feynman dans sa thèse en 1942 introduit la notion d'intégrale de chemin afin de présenter une nouvelle formulation de la mécanique quantique [2]. Ces résultats ne seront publiés qu'en 1948 [3] en raison de la seconde guerre mondiale. A terme, le but de cette approche serait de formuler une théorie de l'électrodynamique quantique en développant la quantification par intégrale de chemin. Si de nos jours on retient le formalisme Hamiltonien de la mécanique quantique pour traiter des problèmes classiques (au sens non relativiste), il s'avère que la formulation de Feynman est largement prédominante pour traiter les problèmes relativistes notamment en théorie quantique des champs, l'avantage provenant du fait que cette approche est non perturbative.
Par ailleurs, en 1953 Feynman appliqua son approche pour formuler la mécanique statistique quantique par intégrale de chemin (intégrale de Wiener, formule de Feynman-Kac) et tenta d'expliquer la transition lambda dans l'hélium superfluide.
Mécanique quantique et relativité[modifier]Article détaillé : Théorie quantique des champs.La mécanique quantique est une théorie non relativiste : elle n'incorpore pas les principes de la relativité restreinte. En appliquant les règles de la quantification canonique à la relation de dispersion relativiste, on obtient l'équation de Klein-Gordon (1926). Les solutions de cette équation présentent toutefois de sérieuses difficultés d'interprétation dans le cadre d'une théorie censée décrire une seule particule : on ne peut notamment pas construire une densité de probabilité de présence partout positive, car l'équation contient une dérivée temporelle seconde. Dirac cherchera alors une autre équation relativiste du premier ordre en temps, et obtiendra l'équation de Dirac, qui décrit très bien les fermions de spin un-demi comme l'électron.
La théorie quantique des champs permet d'interpréter toutes les équations quantiques relativistes sans difficulté.
L'équation de Dirac incorpore naturellement l'invariance de Lorentz avec la mécanique quantique, ainsi que l'interaction avec le champ électromagnétique mais qui est traité encore de façon classique (on parle d'approximation semi-classique). Elle constitue la mécanique quantique relativiste. Mais du fait précisément de cette interaction entre les particules et le champ, il est alors nécessaire, afin d'obtenir une description cohérente de l'ensemble, d'appliquer la procédure de quantification également au champ électromagnétique. Le résultat de cette procédure est l'électrodynamique quantique dans laquelle l'unité entre champ et particule est encore plus transparente puisque désormais la matière elle aussi est décrite par un champ. L'électrodynamique quantique est un exemple particulier de théorie quantique des champs.
D'autres théories quantique des champs ont été développées par la suite au fur et à mesure que les autres interactions fondamentales ont été découvertes (théorie électrofaible, puis chromodynamique quantique).
Les inégalités de Heisenberg[modifier]Article détaillé : Principe d'incertitude.Les relations d'incertitude de Heisenberg traduisent l'impossibilité de préparer un état quantique correspondant à des valeurs précises de certains couples de grandeurs conjuguées. Ceci est lié au fait que les opérateurs quantiques associés à ces grandeurs classiques ne commutent pas.
Inégalité position-impulsion[modifier]Considérons par exemple la position et l'impulsion d'une particule. En utilisant les règles de la quantification canonique, il est facile de vérifier que les opérateurs de position et d'impulsion vérifient :
La relation d'incertitude est définie à partir des écarts quadratiques moyens de grandeurs conjuguées. Dans le cas de la position et de l'impulsion d'une particule, elle s'écrit par exemple :
Plus l'état possède une distribution resserrée sur la position, plus sa distribution sur les valeurs de l'impulsion qui lui est associée est large. Cette propriété rappelle le cas des ondes, via un résultat de la transformée de Fourier, et exprime ici la dualité onde-corpuscule. Il est clair que ceci mène à une remise en cause de la notion classique de trajectoire comme chemin continu différentiable[4].
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