Bon je réponds un peu tard, mébref.
Si tu ne connais pas les notions d'intégrale et de primitive, ça risque d'être assez compliqué 
Eventuellement, si tu connais la notion de développement limité, faut m'arrêter
Bon. Tu connais la dérivée de ta fonction.
La dérivée, c'est accessoirement la pente de la tangente.
L'idée est que tu vas approximer ta fonction par sa tangente, c'est-à-dire une fonction affine. Ca te permettra de calculer des valeurs *approximatives* de v(x).
Une telle approximation n'est valable que "près d'un point". Et le seul point que tu connais, c'est (0;0).
Les fonctions affines sont de la forme f(x) = a*x + b
1°) On détermine a, la pente de f(x). On utilise pour ce faire la dérivée de ta fonction :
v'(x) = 1/ (1+x²)
---> v'(0) = 1/ (1+0²) = 1
---> a = 1
2°) On détermine b. On sait que ta fonction v(x) passe par (0;0) :
f(x) = 1 * x + b
---> 0 = 0 + b
---> b = 0
Tu as ainsi la fonction f(x) = x. Elle te permet d'approximer v(x) aux alentours de 0.
Donc :
v(0.5) ~~ f(0.5) = 0.5
v(1) ~~ f(1) = 1