Si si, ça change rien d´ailleurs qu´elle soit allumée ou éteinte car elle est déconnectée dans les deux cas, pour la connecter faut faire quelque chose et elle se déconnecte automatiquement après.
Les mails quoi que tu fasses tu les recevras dès que tu te connectes, et ceux que t´envoies on les recevra dès qu´on se connecte, comme sur le net quoi, sauf que même si t´es connecté sur le net, la DS ne l´est pas forcément, même allumée.
Et tu peux en recevoir autant qu´on t´en envoie, au début j´en recevais une dizaine chaque jour.
Mais ça change rien pour les quêtes débloquables par wifi, où il faut juste envoyer 7 mails, à qui tu veux (une personne ou deux ou sept..), et après c´est bon, t´as plus besoin du wifi, tout le reste se fait dans le jeu.