Non, si t'as acheté le jeu neuf, il ne devrait y avoir aucun problème.
Tu n'es pas obligé de recommencer le jeu du début, il te suffit de charger la dernière quête accomplie (via le menu principal) afin d'arriver au point le plus avancé du jeu auquel tu as accès.
Quant au problème de mise à niveau, il te suffit de te connecter sur ton compte battle.net : https://eu.battle.net/login puis d'aller ici : https://eu.battle.net/account/management/d3/dashboard.html et de vérifier "l'état du compte", théoriquement, si tu as suivi toutes les étapes (enregistrement de la clé CD etc.), tu devrais voir "Actif".

Après il est possible que la mise à niveau ne soit pas instantané, attends quelques heures.