La clé est liée à un compte battle.net pas au pc sur lequel tu l'as installé la première fois.
Pour pouvoir jouer sur ton pc il NE faut PAS que tu recrée un compte battle.net une 2e fois (ce que tu as fait visiblement) il faut que tu lances le jeu et que tu te connectes avec les identifiant du compte que tu as créé quand tu as installé le jeu la première fois sur le pc de ta cousine.