@Coeurd'Or :
L'application h : (A,B) -> tr(tA.B) produit scalaire de Mn(R) (tA désigne la transposée de A).
f forme linéaire => Il existe une matrice J de taille nxn tel que pour toute matrice M taille nxn, f(M) = tr(tJ.M).
D'ou avec l'hypothèse de l'exo : tr(tJMN)=tr(tJNM) d'ou en utilisant que la trace est une forme linéaire et que tr(AB) = tr(BA) : tr((tJM-MtJ)N) = 0 = <tJM-MtJ,tN> Avec N quelconque.
On peut prendre N=t(tJM-MtJ), alors on a tJM=MtJ
Et je sais mais je sais plus le démontrer que du fait que tJ commute avec une matrice M quelconque, tJ est une homothétie, donc que tJ = aId
Donc il existe a tel que : f(M) = atr(M)
Pour le second, on l'avait fait et je crois qu'il faut réutiliser la propriété : pour Toute forme linéaire de Mn(R), il existe A tel que pour tout M, Phi(M)=tr(tAM)