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Énoncés et enseignement
En pratique, le théorème de Thalès permet de calculer des rapports de longueur et de mettre en évidence des relations de proportionnalité en présence de parallélisme.
Théorème de Thalès :Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC) (comme indiqué sur la figure ci-dessous). Alors on a :
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Deux configurations possibles du théorème de Thalès.
Le théorème de Thalès démontre que les triangles ABC et ADE sont homothétiques : il existe une homothétie de centre A envoyant B sur D et C sur E. L'un des rapports donnés ci-dessus est au signe près le rapport de l'homothétie. Plus précisément, le rapport de l'homothétie est + AD / AB dans la première configuration et − AD / AB dans la seconde. Le théorème de Thalès est parfois énoncé plus simplement en affirmant qu'une droite parallèle à un des côtés du triangle coupe ce triangle en un triangle semblable.
Il peut être mis en œuvre dans différentes constructions géométriques faisant intervenir compas et règle. Par exemple, il peut justifier une construction permettant de diviser un segment en un nombre donné de parts égales.
Pour être plus rigoureux, l'énoncé ci-dessus donné nécessite l'utilisation d'une distance euclidienne pour donner un sens aux longueurs mentionnées (AB, BC, ...). Un énoncé plus général et précis est donné dans le cadre de la géométrie affine. Dans ce cadre, la notion de longueur est remplacée par celle de mesure algébrique, et seul le rapport a un sens (voir plus loin).
Théorème réciproque
Le théorème de Thalès (en dimension 2), dans son sens direct, permet de déduire certaines proportions dès que l'on connaît un certain parallélisme. Sa réciproque permet de déduire un parallélisme dès que l'on connaît l'égalité de certains rapports.
Réciproque du théorème de Thalès : Dans un triangle ABC, supposons donnés des points D et E appartenant respectivement au segment [AB] et [AC]. Si les rapports AD/AB et AE/AC sont égaux, alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Il est à remarquer que la démonstration de cette réciproque se déduit du théorème. En effet, considérons un point E' du segment [AC] tel que (DE') soit parallèle à (BC). Alors les points A, E', C sont alignés dans cet ordre et AE'/AC = AD/AB = AE/AC donc il vient que AE' = AE. Or il n'existe qu'un seul point situé entre A et C vérifiant cette propriété donc E' = E . Par conséquent, (DE)=(DE') est parallèle à (BC).
Il est à noter que ce qui est appelé « le théorème réciproque de Thalès » n'est pas la réciproque, au sens logique du terme, du théorème initial.
Théorème de la droite des milieux
Le théorème des milieux est une spécialisation du théorème de Thalès, pour laquelle les points D et E correspondent aux milieux des segments [AB] et [AC]. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, elle est parallèle à la droite qui supporte le troisième côté ; et la longueur joignant les milieux des deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté:
Théorème de la droite des milieux : Soit un triangle ABC, et nommons D et E les milieux respectifs de [AB] et [AC]. Alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles et on a : 2.DE = BC.
La réciproque du théorème de Thalès justifie que les deux droites sont parallèles ; de plus, le théorème de Thalès s'applique et il vient :
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Enseignement et appellations
Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Thalès dans l'enseignement des mathématiques en France, en Suisse, etc.1.
Aucun texte ancien ne semble attribuer la découverte d'un résultat semblable à Thalès. La première référence où une telle attribution est faite se trouve dans les Éléments de géométrie de Rouché et Comberousse en 18832. Une des causes de cette attribution serait l'incitation faite aux agrégatifs à la fin du xixe siècle d'attribuer aux résultats des noms de mathématiciens pour qu'ils s'intéressent à l'histoire des mathématiques.
C'est aussi sous le nom de théorème de Thalès que le résultat est connu dans les pays de la Méditerranée et dans les pays de l'Europe de l’Est ou du Nord. Cependant, dans les pays de langue anglaise et en Allemagne, ce résultat est connu sous le nom de théorème d'intersection.
L'appellation théorème de Thalès désigne dans ces pays la propriété selon laquelle tout angle inscrit dans un demi-cercle est droit3 (lire Théorème de Thalès (cercle)).
En Suisse, le théorème est principalement abordé au moyen de la « petite propriété de Thalès » telle qu'elle est enseignée en France. Le « théorème de Thalès suisse » exprime par contre le carré de la hauteur dans un triangle rectangle.
Origines[modifier]
Rien n'atteste de la connaissance ou non du théorème de Thalès ou d'un résultat similaire avant la (lente) apparition de l'écriture. Les premières traces connues et incontestables de l'utilisation de connaissances mathématiques sont des textes pragmatiques provenant des premières grandes civilisations maitrisant l'écriture. Les textes les plus anciens traitent tous de numération, c'est-à-dire de l'art du calcul, en particulier de la multiplication, de la division et de l'extraction de racines. Il n'est pas étonnant que ces textes soient les premiers : sans la maitrise de cet art, le théorème de Thalès n'a pas d'utilité4. Les premières traces d'une connaissance du théorème ou d'un substitut proche remontent au IIe millénaire av. J.-C., à l'âge du bronze, à la fois en Égypte antique et en Mésopotamie dans la civilisation babylonienne.
Civilisation babylonienne
Article détaillé : Mathématiques babyloniennes.
La tablette MLC 1950 (datée entre -1900 et -1600)5 décrit un exercice dans lequel le scribe cherche à calculer les longueurs des bases d'un trapèze rectangle à partir d'informations sur l'aire du trapèze, sa hauteur et la hauteur du triangle correspondant. Les données sont indiquées sur la figure ci-contre (en notation sexagésimale). Le scribe calcule :
la demi-somme des longueurs cherchées comme le rapport de l'aire par la hauteur (d'autres tablettes confirment que la formule donnant l'aire du trapèze était connue6) ;
la demi-différence par application d'une formule non expliquée ; en notant A l'aire du trapèze BDEC, elle s'écrit aujourd'hui littéralement :
.
Roger Caratini explique comment obtenir cette formule en appliquant la petite propriété de Thalès aux triangles ABC et ADE d'une part, et aux triangles CBA et CFE d'autre part. Il déduit de ce raisonnement que le scribe possédait « un certain nombre de connaissances dans le domaine de la géométrie élémentaire, en particulier les théorèmes fondamentaux sur la similitude des triangles » (donc, le théorème de Thalès ou un substitut)7. Cependant, le problème est présenté par sa figure sans que les hypothèses soient énoncées ;
Démonstration possible de la formule[modifier]
Le parallélogramme BDEF admet un angle droit en B, et deux de ses côtés sont par hypothèses parallèles : c'est donc un rectangle. En particulier, la droite (EF) est parallèle à (AB). L'application de la petite propriété de Thalès aux triangles CBA et CFE donne :
ou encore .
le théorème de l'article doit son nom en France à Thalès de Milet.
Certains textes littéraires de l'Antiquité grecque font référence aux travaux de Thalès de Milet au vie siècle av. J.-C., dont aucun écrit ne nous est parvenu. Cependant, aucun texte ancien n'attribue la découverte du théorème à Thalès16. Dans son commentaire sur les Éléments d'Euclide, Proclos17 affirme que Thalès aurait rapporté le résultat de son voyage en Égypte. Hérodote rapporte la même chose et précise qu'il est l'un des sept sages fondateurs de cette civilisation18. Une anecdote célèbre rapporte que Thalès obtint l'admiration de Pharaon en mesurant la hauteur d'une des pyramides. Plutarque indique que :
« Dressant seulement à plomb un bâton au bout de l’ombre de la pyramide et se faisant deux triangles avec la ligne que fait le rayon du soleil touchant aux deux extrémités, tu montreras qu’il y avait telle proportion de la hauteur de la pyramide à celle du bâton, comme il y a de la longueur de l’ombre de l’un à l’ombre de l’autre19. »
Cette légende est reprise par d'autres auteurs. Diogène Laërce écrit :
« Hiéronyme dit que Thalès mesura les pyramides d'après leur ombre, ayant observé le temps où notre propre ombre égale notre hauteur.20. »
Bernard Vitrac émet de sérieux doutes sur la réalité de ces précisions : « Plus ils sont tardifs, plus ils sont capables de donner des détails sur le procédé utilisé »12. Plutarque parle seulement de proportionnalité entre les hauteurs de la pyramide et du bâton, d'une part, et des longueurs de leurs ombres projetées, d'autre part. Laërce évoque l'égalité des côtés adjacents à un angle droit d'un triangle rectangle isocèle. La légende selon laquelle Thalès aurait inventé « son » théorème en voulant calculer la hauteur d'une pyramide est aujourd'hui véhiculée et embellie sur de nombreux sites internet, par de nombreux journaux de vulgarisation et par certains auteurs21.
Selon Michel Serres, cette histoire était utilisée et transmise dans la civilisation grecque antique comme un moyen mnémotechnique : « Dans une culture de tradition orale, récit tient lieu de schéma, scène vaut intuition, où l'espace vient en aide à la mémoire. [...] Mieux vaut reconnaître, alors, dans le récit, moins une légende originaire que la forme même de la transmission ; il communique un élément de science plus qu'il ne témoigne de son émergence »22.
Cette histoire atteste aussi de l'origine probable de la géométrie : le calcul des distances et des tailles caractéristiques d'objets inaccessibles (ici la hauteur d'une pyramide) a probablement conduit l'homme à s'interroger sur les relations des distances entre des points de repère. Cette interrogation l'a naturellement conduit à s'intéresser à la trigonométrie, d'où l'émergence de résultats comparables au théorème de Thalès23. Par ailleurs, on trouve dans les différentes versions un objet de référence, un axe, un essieu, ou Thalès lui-même, utilisé comme un gnomon, terme signifiant « instrument du savoir, de la compréhension ». Certains voient dans l'origine babylonienne de ce terme une preuve supplémentaire que l'énoncé du théorème et sa démonstration seraient d'origine babylonienne24
Une version de la légende de la découverte du résultat par Thalès pourrait être la suivante.
Version de la légende
Lors d'un voyage en Égypte, Thalès aurait visité les pyramides construites plusieurs siècles plus tôt. Admirant ces monuments, il aurait été mis au défi d'en calculer la hauteur. Thalès aurait donc entrepris une mesure des pyramides, dont le principe reposerait sur le concept de triangles semblables et de proportionnalité. Thalès aurait remarqué qu'à cette époque de l'année, à midi, l'ombre portée d'un homme ou d'un bâton égalait la taille de l'homme ou la longueur du bâton. Les rayons de soleil pouvant être supposés parallèles, Thalès en aurait déduit qu'il en serait de même pour la hauteur de la pyramide et son ombre projetée.
Encore fallait-il être capable de mesurer l'ombre projetée : il aurait repéré le sommet de l'ombre projetée de la pyramide, mais pour la mesurer dans son entier, il lui aurait fallu partir du centre de la pyramide qui n'était pas accessible. Thalès aurait bénéficié d'un atout supplémentaire : non seulement l'ombre portée égalait la hauteur de la pyramide, mais les rayons du soleil étaient perpendiculaires à une arête de la base. Le sommet de l'ombre de la pyramide se serait alors trouvé sur la médiatrice d'un côté de la base. Il lui aurait suffi de mesurer la distance séparant l'extrémité de l'ombre et le milieu du côté, d'ajouter à cette longueur un demi-côté pour obtenir la hauteur de la pyramide.
Le fait que le sommet de l'ombre de la pyramide soit sur la médiatrice d'un côté à midi ne tient absolument pas du hasard, mais au fait que les pyramides sont orientées plein sud ou plein ouest. La pyramide de Khéops est située à une latitude de 30°, la longueur de l'ombre égale celle du bâton lorsque le soleil fait 45° avec la verticale. L'angle que forme le soleil avec la verticale varie au cours de l'année entre 6,73° (au plus fort de l'été) et 53,27° (au plus fort de l'hiver) et ne fait un angle de 45° que deux fois dans l'année (le 21 novembre et le 20 janvier). Ce serait un hasard extraordinaire que Thalès se fût trouvé là à cet instant précis. À toute autre période de l'année, la longueur de l'ombre est proportionnelle à la hauteur.
Thalès aurait lui-même fait ces remarques. Il serait retourné et aurait expliqué que la hauteur de la pyramide est proportionnelle à la longueur de son ombre. En comparant la longueur de l'ombre et la hauteur d'un bâton planté, il lui aurait été facile de connaître le coefficient de proportionnalité et de l'appliquer ensuite à l'ombre de la pyramide pour en déterminer sa hauteur. Plutarque ne dit d'ailleurs pas autre chose(ou?).
