Voilà j´ai un DNS de maths et je comprens rien

Arghh fausse manip...
1)Déterminer le polynome P de d°3 tel que, pour tout x réel, P(x+1)-P(x)=x² et P(1)=0

2)Démontrer que , pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, 1²+2²+3²+...+n²=P(n+1)

3)En déduire que pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1, 1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

Ca serait sympa de m´aider SVP parce que je comprends quedale ...

Désolé mais on vient de commencer et pour l´instant g pas tout compris. En plus mon prof n´explique rien alors...

@ + -Dreamzoneur-

bon alors heuuu c´est koi ça ? ha ouais des math... alors heuuuu polynome nanana 3eme degres nanana ça doit etre jouable... voyons... hola c´est loin tout ça... bon... c´est koi deja l´id remarquable de (a+b)^3.... mmmmm faisons plus simple... les vieilles methode... alors...

P: ax^3 + bx² +cx+d

p(1)=0
a+b+c+d=0

on dev

p(x+1)=
a(x+1)^3+b(x+1)²+c(x+1)+d
=ax^3+(3a+b)x²+(3a+2b+c)x+
a+b+c+d

p(x)=
ax^3+bx²+cx+d

p(x+1)-p(x)=
3
ax²+(3a+2b)x+(a+b+c)

on sait que p(x+1)-p(x)=x²

donc
3a=1
3a+2b=0
a+b+c=0

donc
a=1/3
b
=-1/2
c=-1/6
-------------------------
P: 1/3 x^3 - 1/2x² - 1/6x
-------------------------

bon bah ça devrai suffir... bonne chance pour les autres questions ! la j´ai flemme je vais me fumer mon ptit bedo...

Merci bcp Kurp !!!

je crois qu´en debut de premiere s tu dois lui parler chinois la

;)

kurp tu t´es trompé avec le signe de c, tu n´obtiens pas P(1) = 0.

1) P(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d

P(x+1) = a.(x3 + 3.x2 + 3.x + 1) + b.(x2 + 2.x + 1) + c.(x+1) + d
= a.x3 + (3a + b).x2 + (3a+2b+c).x + a + b + c + d

P(x+1)-P(x) = 3a.x2 + (3a + 2b).x + a + b + c

donc
3a = 1
3a+2b = 0
a+b+c = 0

P(1) = 0 donne a+b+c+d = 0

Donc immédiatement a = 1/3 et d=0
On se retrouve avec
2b = -1 donc b = -1/2
b+c = -1/3 donc c = 1/6

P(x) = (2.x3-3.x2+x)/6
P(x) = x.(2x²-3x+1)/6

2) récurrence.

pour n=1, on a bien P(2) = (16-12+2)/6 = 1 = 1²
Supposons P(n+1) = n²+(n-1)²+...+2²+1²
Calculons P(n+2).
D´après 1), on sait P(n+2) - P(n+1) = (n+1)²
P(n+2) = (n+1)² + P(n+1)
P(n+2) = (n+1)² + n² + ... + 2² + 1²
D´après l´hypothèse de récurrence. CQFD.

3) on sait que P(n+1) = n²+(n-1)²+...+2²+1²
Donc n²+(n-1)²+...+2²+1² = (n+1).(2.(n+1)² - 3.(n+1) + 1)/6
= (n+1).(2n²+4n+2 -3n - 3 + 1)/6
= n.(n+1).(2n+1)/6

je sais pas si jujutsukamitora a vu mon message donc je remonte.

Merci je viens de le voir !!
Mais pour le polynome je l´ai refait tout seul ce matin en étude et ça allait tout seul!!
Hier je comprenais rien c surement parce que gt défalqué de la veille !!
Par contre c koi la recurrence ??

Mais je viens de faire le truc avec 1²+2²+3²...+n²=n(n+1)
Ma prof avait pas du tout fait la mm démarche que vous !!!
Ct un peu plus simple bien que je n´ai rien compris !!

c´est vrai que la 2e question on peut la rédiger autrement :

P(n+1) = P(n+1) - P(1) puisque P(1) = 0
= [P(n+1)-P(n)] + [P(n)-P(n-1)]+ ... + [P(3)-P(2)] + [P(2)-P(1)] (on rajoute et on soustrait chaque terme)
Or [P(n+1)-P(n)] = n² d´après 1)
et pareil pour les autres.

Donc en les remplaçant tous, on peut écrire :
P(n+1) = n² + (n-1)² + ... + 2² + 1²

Je suppose que c´est comme ça que ta prof a fait ?