Voilà se que met nintendo pour ton erreur :
http://www.nintendowifi.fr/customersupport/troubleshoot.do?error=51300&x=20&y=7
Donc vérifie ta clé WEP ou L´adresse MAC de ta DS (qui est afficher dans les options de ta DS, ce n´est pas le code sur l´étiquette de ta DS).
Ou sinon abandonne, car sérieusement j´en est vu des cas en wifi et la sa me semble vraiment être un problème matériel, donc change ta DS.
Le mieux serai d´essayer avec une autre DS pour voir si c´est une erreur de ta part ou si c´est vraiment ta DS qui merde.