DM de Math 3
Avant toute chose, je dois remercier pas mal de personnes qui m’ont aidé à faire ce devoir. Parmi elles, un étudiant en classes Prépa, une Terminale, une Première, un professeur de mathématiques (ou « prof de maths » comme disent le jeunes), et un Comte. J’ai précisé après chaque exercice lequel d’entre eux m’a aidé – ou l’a démontré à ma place *fou*.
Exercice 1
1)
10² + 11² + 12² = 100 + 121 + 144 = 365
13² + 14² = 169 + 196 = 365
Les deux additions sont donc bien égales.
2)
x² + (x+1)² + (x+2)² = (x+3)² + (x+4)²
<==> x² + x² + 2x + 1 + x² + 4x + 4 = x² + 6x + 9 + x² + 8x + 16
<==> x²-8x-20 = 0
Calcul du discriminant = (-8)² -4 * 1 * (-20) = 144
Première solution = {-(-8) + 144} / (2*1) = 10
Deuxième solution = {-(-8) - 144} / (2*1)= -2
Or -2 n´est pas un entier naturel, donc y´a pas d´autres solutions que 10, 11, 12, 13 et 14.
Je remercie mon ami qui est en Prépa. Merci Beaucoup.
Exercice 2
a) Les diagonales perpendiculaires d’un quadrilatère convexe ABC forment 4 triangles rectangles (E étant l’intersection des diagonales et donc l’angle droit) :
ABE, EBC, ADE et DEC.
Donc, d’après le théorème de Pythagore :
EA² + BE² = AB²
BE² + EC² = CB²
DE² + EC² = DC²
AE² + DE² = AD²
Donc:
AB² + CD² = AE² + BE² + DE² +EC²
AD² + BC² = AE² + BE² + DE² +EC²
Donc
AB² + CD² = AD² + BC²
b)
==> AB²+DC² = AD²+BC²
Or une distance au carré peut se remplacer par le vecteur au carré. Donc on a l´égalité vectorielle:
AB²+DC² = AD²+BC²
Donc, d’après la relation de Chasles : (AD+DB)² + (DB+BC)² = AD²+BC²
<==> AD² + DB² + 2 * AD * DB + DB² + BC² + 2 * DB * BC = AD² + BC²
<==> 2*DB² + 2*AD*DB + 2 * DB * BC = 0 (AD² et BC² s´annulant des deux cotés).
<==> DB² + AD * DB + DB * BC = 0 (On a simplifié par 2)
<==> DB * DB + AD * DB + DB * BC = 0 (DB² = DB * DB, logique)
<==> DB * (DB+ AD + BC) = 0 (on a factorisé par DB)
<==> DB * (AD + DB + BC) = 0 (on change les termes de places pour pouvoir appliquer Chasles)
<==> DB * AC = 0
Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si les deux vecteurs sont orthogonaux!
Donc DB * AC = 0 <==> DB orthogonal à AC
Et donc par conséquent (DB) perpendiculaire à (AC). Or [AC] et [DB] étant les diagonales, la réciproque est donc vraie.
Et je tiens à remercier un ami à moi qui est en Prépa. Merci beaucoup.
Exercice 3
Partie A
1) [Voir feuille blanche jointe.]
2)a)
IC = 2,7 cm
IB = 3,9 cm
AB = 8,9 cm
AC = 6,4 cm
b)
IC = 4,8 cm
IB = 3,35 cm
AB = 5,5 cm
AC = 7,9 cm
3)a) IB / IC = 3,9 / 2,7 = 13 / 9 » 1,4
AB / AC = 8,9 / 6,4 = 89 / 64 » 1,4
b) IB / IC = 3,35 / 4,8 » 0,7
AB / AC = 5,5 / 7,9 » 0,7
4) On peut penser que la place de I sur [BC] dépend du rapport AB / AC.
Partie B
1) [Voir Feuille Blanche Jointe.]
2) AB / AC = 2.
I devrait donc se trouver à un point situé 2 fois plus loin de B que de C.
Sachant que BC = 9 cm, I doit se trouver à 6 cm de B et à 3 cm de C [6 = 3*2 et 3+6 =9]
3) La mesure de BI et de IC prouve que cela était juste. IB = 6 cm et IC = 3 cm.
Partie C
1) Les droites parallèles (BD) et (AC) coupées par les sécantes (BC) et (AD) déterminent des rapports égaux :
ID / IA = IB / IC = BD / AC
AD étant médiatrice, l’angle BAD = DAC.
Mais AC et BD étant parallèles, des angles alternes-internes sont identifiés : DAC et BDA sont alternes internes, et donc sont égaux. Or, DAC = BAD. Donc BDA = BAD.
Cette égalité montre donc que le triangle BDA est isocèle en B, donc que BA = BD.
Donc :
BD / AC = AB / AC
Et ainsi, selon l’égalité montrée plus haut :
IB / IC = AB /AC.
CQFD 
2)
3) La conjecture que l’on avait faite au départ est donc juste.
Que grâce te soit rendue, « prof de maths » ;- )
Partie D
[V.F.B.J.]
Pour cela, il faut que le rapport IB / IC (= 4 / 5) soit égal à AB / AC (On vient de le démonter juste avant. Ca peut sembler être le bazar total mais c’est vrai.)
Donc, AB et AC ne devant pas mesurer respectivement 4 et 5 (le triangle serait plat et on ne verrait pas vraiment la bissectrice), mais l’un de leurs multiples, on peut donc construire le point A à 4*1,5 = 6 cm de B et à 5*1,5 = 7,5 cm de C.
Exercice 4
Considérons un quadrilatère ABCD inscrit dans un cercle possédant un angle droit en A.
BD est donc un diamètre. Or, lorsqu’on joint les extrémités d’un diamètre à un point d’un cercle, on obtient un angle droit, donc BCD est un angle droit, donc ABCD dispose de 2 angles droits.
De plus, un quadrilatère possédant 3 angles droits est nécessairement un rectangle, donc possède un 4ème angle droit.
Il est aisé de représenter un quadrilatère ne possédant aucun angle droit et étant inscrit dans un cercle. Ainsi, un quadrilatère inscrit dans un cercle ne possédera jamais 3 ou 1 angle(s) droit(s), toujours 0, 2 ou 4.
Je remercie un professeur de mathématiques et un Comte. Grand merci à eux deux.
Exercice 5 [VFBJ]
1) Z = Intersection des diagonales du rectangle ABCD.
Les diagonales d’un rectangle se coupant en leur milieux, AZ est donc une médiane et comme DI aussi, K est le centre de gravité du triangle ABD.
2) Selon Pythagore,
AC² = L² + l ²
AC = L² + l²
Et selon les propriétés des médianes,
AK = 1/3 AC
Donc :
AK = 1/3 L² + l²
Dans le triangle ADL, d’après le théorème de Pythagore,
DL² = LA² + AD²
DL² = (L/2)² + l²
DL = (L/2)² + l²
Et d’après les propriétés des médianes, dans le triangle ABD :
DK = 2/3 DL
Donc :
DK = 2/3 (L/2)² + l²
3) L/l = 2
L = l 2
l = L/ 2
Le plus grand côté est l.
AK² + DK² = (1/3( l 2 + l²)) + (2/3( (l 2)² + l²) = l²
l²
4)De l’origami? Hum.
Note: Votre origami est imprécis (un peu comme ce que « j’ » ai fait dans ce devoir).
En quel sens faut-il plier la feuille ? N’importe comment ? Que veut dire « marquer le milieu d’une longueur » ? Quelle diagonale faut-il plier ?
Beaucoup trop de questions et il est 22 h 31.
Vous devriez songer à nous donner des devoirs un peu moins corsés.
Pour ce dernier exercice, j’ai tout fait tout seul. Ca se remarque au premier coup d’œil.
^^
Saurooooooooon
(jamais compris ce que voulais dire CQFD -_-)
^^