Bon ok je te files la réponse, mais à mon avis ca passera pas si vous ne l´avez pas vu XD
AB²+CD² = AD²+BC²
==> AB²+DC² = AD²+BC²
(Comme c´est des distances, ca change rien^^)
Or une distance au carré ca peut se remplacer par le vecteur au carré! Donc on a l´égalité vectorielle:
AB²+DC² = AD²+BC² (avec des flèches partout au-dessus ^^)
(Oui donc à partir de maintenant on raisonne que en vecteurs, donc faut imaginer que y´a les flèches partout
)
Donc: (AD+DB)² + (DB+BC)² = AD²+BC² (utilisation de Chasles)
<==> AD²+DB²+2.AD.DB+DB²+BC²+2.DB.BC = AD²+BC² (dévellopement des identités remarquables!)
<==> 2.DB²+2.AD.DB+2.DB.BC = 0 (AD² et BC² s´annulent des deux cotés)
<==> DB²+AD.DB+DB.BC = 0 (On a simplifié par 2)
<==> DB.DB+AD.DB+DB.BC = 0 (DB² = DB.DB, logique^^)
<==> DB.(DB+AD+BC)= 0 (on a factorisé par DB)
<==> DB.(AD+DB+BC) = 0 (on change les termes de places pour pouvoir appliquer Chasles)
<==> DB.AC = 0 (Chasles: AD+DB+BC = AC)
Le produit scaleire de deux vecteurs est nul si les deux vecteurs sont orthogonaux!
Donc DB.AC = 0 <==> DB orthogonal à AC (toujours en vecteur)
Et donc par conséquent (DB) perpendiculaire à (AC). Or [AC] et [DB] c´est les diagonales de ABCD et donc bah CQFD ^^