Un premier exemple :
Notez que c´est une série de termes rationnels ! Les suites Un et Vn ne sont rien d´autre que des valeurs des polynômes de Chebyshev, respectivement T(n,99/100) pour Un et T(n,99/4780) pour Vn.
Et pour les petits malins qui auraient déjà remarqué une certaine ressemblance des coefficients de récursivité de Un et Vn avec les formules d´Arctan ( pensez à Machin ! ), bien joué, voici une formule plus générale où l´on utilise ces fameuses formules :
Si l´on connaît une relation du type : alors on peut construire les suites Unk et la série suivante :
Vous voulez autre chose que le 10 au dénominateur ? Soit, voici une formule encore plus générale pour p2>1, toujours en partant de la relation avec les Arctan :
avec T(n,x) le polynôme de Chebyshev.
Mais d´où ça vient ?
Cet algorithme est un peu du même style que les séries type Machin, mais ici on se permet d´avoir un dénominateur commun aux puissances ( 10 dans notre premier exemple). Ces formules n´ont malheureusement de la série BBP que l´apparence. Car si on a enfin obtenu un 10 au dénominateur au lieu du 16 de la formule BBP, et que le reste de la somme est rationnel, celui-ci est une fonction de puissances. En effet, les suites Un et Vn sont récurrentes, on peut donc en trouver un terme général sous la forme Un=a.r1n+b.r2n où r1 et r2 sont les racines de x2-c.x-d=0 tel que Un=c.Un-1+d.Un-2. Pour Delta non nul bien sûr, mais allez me chercher une racine double ! Et même dans ce cas, on écrit Un=(a+b.n)rn où r est la racine double. a et b se déterminent ensuite grâce à U1 et U2, mais les expressions sont tellement horribles que je préfère ne pas perdre de temps à les écrire ici. De toutes les façons, comme d´habitude, il y a des racines dans l´affaire et l´on ne comprend même pas comment l´expression peut être rationnelle au final.
Là encore, je n´ai pas trouvé ce genre d´expression sur le net, et même le Gradshteyn ne la mentionne pas. Pourtant, c´est bien de ce livre que m´est venue l´idée et l´on va enfin voir dans la démonstration pourquoi j´ai appelé cette page Polynômes de Chebyshev et Pi.
Définition préliminaire des polynômes de Chebyshev
Un petit mot de Chebyshev ( ou Tchebychev francisé) :
Né en 1821 à Okatovo dans une famille noble et cultivée, il fait ses études à l´université de Moscou. Sa famille ruinée, il refuse les postes d´enseignants qu´on lui propose et vit misérablement jusqu´en 1847 où il devient enseignant à Saint-Petersbourg. Il se met alors à voyager et à profiter de ses talents d´ingénieur, il est en effet très habile.
Par contre, il était infect avec ses élèves, n´aimant pas perdre son temps, et avait l´habitude d´arrêter ses cours à la seconde près au milieu d´une phrase, nous raconte " Des mathématiciens de A à Z".
Pendant sa carrière, il s´intéressa surtout à la théorie des nombres et fit grandement progresser les pistes de démonstration du théorème des nombres premiers.
On peut définir ses fameux polynômes au rang n par la relation suivante :
T(n,cos(x))=cos(n.x), T(0,y)=1
En d´autres termes, c´est le polynôme qui permet d´exprimer les cos(n.x) en fonction de cosk(x), kn. Il est unique si l´on choisit de le rendre égal à 1 au rang 0 : T(0,y)=1.
En effet, il vérifie la relation de récurrence ( géniale) suivante :
T(n,x)=2x.T(n-1,x)-T(n-2,x)
C´est elle qui va nous servir à construire les suites Unk.
Démonstration
Tout d´abord, nous avons besoin d´un petit calcul préliminaire :
A quoi cela va-t-il bien pouvoir servir ? Eh bien en remarquant que
on obtient
( la convergence de la série était uniforme sur tout compact inclus dans [0,1[ et p<1, ce qui justifie l´inversion de la somme et de l´intégrale)
C´est cette formule qui est relatée dans le Gradshteyn/Ryzhik ( 5e ed. 1.448.6). Retrouver la démonstration n´était pas bien difficile, du reste, vous aurez sans doute remarqué que j´avais honteusement fait les calculs à l´envers en premier lieu, car le " en remarquant que" plus haut n´est pas facile à voir directement !
Il suffit ensuite de remplacer p par 1/p<1 pour retrouver la formule que l´on utilisera par la suite :
Et arrivé là, je me suis dit : " Mais les cos(n.x), on les connait en fonction des puissances cosn(x) grâce aux polynômes de Chebyshev, qui rappelons le, vérifient T(n,cos(x))=cos(n.x).
On considère alors la relation . On choisit alors x=xk tel que . ( oui, bon, il faut que le terme à l´intérieur de l´arccos soit inférieur à 1, mais même si cela n´est pas le cas, on obtient un x complexe et ça marche aussi finalement avec ak=1...). Remarquons que si la relation sur les arctan est agréable, les ak sont rationnels et grâce aux polynômes de Chebyshev, cos((2k-1)x)=T(2k-1,x) l´est aussi.
Avec cette expression, il vient :
Maintenant, c´est presque gagné, on utilise la relation de récurrence des polynômes de Chebyshev pour calculer les T(n,x).
Comme
et T(n,x)=2x.T(n-1,x)-T(n-2,x) on construit l´algorithme final :
Amusant, n´est-ce-pas ?
Essais
Dans le cas de la première suite, j´avais choisi p=10 et utilisé la formule de Machin. Voici les valeurs numériques :
n=2 3,141545
n=5 3,1415926535919
n=10 20 décimales
n=20 41 décimales
On remarque que la partie des polynômes de Chebyshev décroit très lentement puisque la convergence est quasiment de 2n, ce qui est dû au facteur 1/102 au dénominateur. A mon avis, c´est une solution alternative intéressante aux séries de type Machin...
