Partie A
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
AC2 = 202 = 400 BC2 = 162 = 256 AB = 122 = 144
144 + 256 = 400 donc AB2 + BC2 = AC2 donc d?après la réciproque de Pythagore le triangle ABC est
rectangle en B. 1 pt
2. Calculer l?aire du triangle ABC.
AABC = AB x BC
2
= 12 x 16
2
= 96 cm2. 1 pt
3. Démontrer, en s?aidant de la question 1., que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).
Comme (EF) ^ (BC) et (AB) ^ (BC) alors (EF) // (AB) car si deux droites sont perpe,ndiculaires à une
même troisième droite alors elles sont parallèles. 1 pt
Partie B
On se place dans le cas où CF = 4 cm.
1. Démontrer que EF = 3 cm.
Comme E Î [AC], F Î [BC] et (EF) // (AB) alors CF
CB
= CE
CA
= EF
AB
1 pt
donc 4
16
= EF
12
EF = 12 x 4
16
= 3 cm. 0,5 pt
2. Calculer l?aire du triangle EBC.
AEBC = EF x BC
2
= 3 x 16
2
= 24 cm2. 1 pt
Partie C
On se place dans le cas où F est un point quelconque du segment [BC], distinct de B et de C.
Dans cette partie, on pose CF = x (x étant un nombre tel que : 0 < x < 16)
1. Montrer que la longueur EF, exprimée en cm, est égale à 3
4
x.
EF
12
=
x
16
donc EF = 12 x x
16
EF = 3
4
x. 1 pt
2. Montrer que l?aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est égale à 6x.
AEBC = EF x BC
2
=
3
4
x x 16
2
= 6x 1 pt
3. Pour quelle valeur de x l?aire du triangle EBC, exprimée en cm2, est-elle égale à 33 ?
6x = 33 donc x = 33
6
= 5,5 cm2 0,5 pt
4. Exprimer en fonction de x l?aire du triangle EAB.
Pour quelle valeur exacte de x l?aire du triangle EAB est-elle égale au double de l?aire du triangle EBC ?
AEAB = BF x AB
2
= (16 ? x) x 12
2
= (16 ? x) x 6 = 96 ? 6x 1 pt
AEAB = 2 AEBC = 96 ? 6x = 2 x 6x donc 96 ? 6x = 12x d?où 96 = 12x + 6x = 18x donc x = 96
18
= 16
3
1 pt
Je sais pas si ca va marcher mais c'est ça le bon résultat 