Soient arccos : [-1;1] --> [0;π] et t ∈ [-1,1]

Montrons que : arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos( |t| )

Montrons tout d'abord que arccos(2 * t^2 -1) est bien définie sur [-1,1]

Soit t ∈ [-1,1], on a :

-1 ≤ t ≤ 1 => 0 ≤ t^2 ≤ 1 => 0 ≤ 2 * t^2 ≤ 2 => -1 ≤ 2 * t^2 -1 ≤ 1

On en déduit que 2 * t^2 -1 ∈ [-1,1]

On en déduit que arccos( 2 * t^2 -1 ) est bien définie sur [-1,1]

t-> 2 * t^2 -1 est à valeur dans [-1,1] et arccos est continue et dérivable sur [-1,1]. On en déduit par composée que arcos(2 * t^2 -1) est continue et dérivable sur [-1,1]

Soit g(t) = arccos(2 * t^2 -1) - 2 * arccos (t). g est continue et dérivable sur [-1,1] comme somme de fonctions continues et dérivables sur [-1,1]

On en déduit donc que :

g'(t) = ( -4t / ( sqrt( 1 - (2 * t^2 -1)^2 ) ) ) - (-2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )

g'(t) = ( -4t / ( sqrt( 1 - (4*t^4 - 4*t^2 + 1 ) ) ) ) + ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )

g'(t) = ( -4t / ( sqrt( 4*t^2 - 4*t^4 ) ) ) + ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )

g'(t) = ( -4t / ( |2t| * sqrt( 1 - t^2 ) ) ) + ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) )

g'(t) = ( 2 / ( sqrt(1 - t^2) ) ) * ( 1 + (-2t / |2t|) )

Si t ≥ 0 alors |2t| = 2t

On a donc 1 + (-2t / |2t|) = 1 + (-2t /2t) = 1 - 1 = 0

Donc g'(t) = 0

Donc g(t) est constant sur [0;1]

On a g(1) = arccos(1) - arccos(1) = 0 Comme g est constant :

∀ t ∈ [0,1], g(t) = 0 donc arccos(2 * t^2 -1) - 2 * arccos (t) = 0

On en déduit que : ∀ t ∈ [0,1], arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos (t)

Si t ≤ 0 alors |2t| = -2t

On a donc 1 + (-2t / |2t|) = 1 + (-2t /-2t) = 1 + 1 = 2
donc :
g'(t) = 4 / ( sqrt(1 - t^2) )
Si on intègre soit C ∈ ℝ

g(t) = -4 * arccos(t) + C
Donc :
arccos(2 * t^2 -1) - 2 * arccos (t) = -4 * arccos(t) + C
C'est-à-dire :
arccos(2 * t^2 -1) = - 2 * arccos (t) + C
On veut connaître C on a pour t = -1 :
arccos(2 * (-1)^2 -1) = - 2 * arccos (-1) + C
i.e.
arccos(1) = - 2 * arccos (-1) + C
i.e.
C = arccos(1) + 2 * arccos (-1) = 0 + 2π
i.e.
C = 2π

On a donc :
arccos(2 * t^2 -1) = - 2 * arccos (t) + 2π = 2* ( π - arccos (t) )

Comme ∀ t ∈ [-1,1], arccos(t) + arccos(-t) = π
On a :
π - arccos (t) = arccos(-t)
On en déduit que :
∀ t ∈ [-1,0], arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos(-t)

En conclusion :

∀ t ∈ [-1,1], arccos(2 * t^2 -1) = 2 * arccos( |t| )

Vous aussi les khey, si vous connaissez d'autres relations de ce genre, partagez-les ici sur ce topic

Je ne comprends pas le but de ce topic ni pourquoi il est sur le forum Sciences et techno...?

Le 30 mars 2020 à 20:25:21 kzekox a écrit :
Je ne comprends pas le but de ce topic ni pourquoi il est sur le forum Sciences et techno...?

Parce que les mathématiques font partie des sciences.

Le but de ce topic est de partager les relations trigonométriques avec des arccos ou des arcsin ou encore plus. Toutes les relations qu'on ne trouvent pas facilement sur internet

C'est assez moche comme demo En partant de cos(2x)=cos^2(x)-1 et en posant x=acos(u) pour x entre 0 et 1, ca donne cos(2x)=u^2-1, soit 2x=acos(u^2-1); d'ou la relation. La meme chose a un signe pres quand x est entre -1 et 0.

Le 30 mars 2020 à 20:31:31 Blue-tamere a écrit :
C'est assez moche comme demo En partant de cos(2x)=cos^2(x)-1 et en posant x=acos(u), ca donne cos(2x)=u^2-1 pour x entre 0 et 1, soit 2x=acos(u^2-1); d'ou la relation. La meme chose a un signe pres quand x est entre -1 et 0.

C'est cool ! J'y avais pas pensé perso

C'est comme ca que sont construites ces relations. Tu peux en trouver des similaires en linearisant cos^3, cos^4, etc.. de la meme facon. Et le meme genre de choses appliquees a asin et atan vont donner des formules aussi.

On sait que soient p et q apparenants à [0,2π]

cos(p) + cos(q) = 2 * cos( (p+q)/2 ) * cos ( (p-q)/2 )

Connait-ton une relation avec :
a,b réels

a*cos(p) + b*cos(q) = ********* ?

Le 30 mars 2020 à 20:36:38 Blue-tamere a écrit :
C'est comme ca que sont construites ces relations. Tu peux en trouver des similaires en linearisant cos^3, cos^4, etc.. de la meme facon. Et le meme genre de choses appliquees a asin et atan vont donner des formules aussi.

C'est comme ce genre de raisonnement :

https://www.math-only-math.com/arccos-x-plus-arccos-y.html

Pourquoi on ne trouve pas ce genre de relation facilement sur internet ?

Non ca se trouve tres facilement. Par exemple le premier lien que j'ai dans google avec "inverse trigonometry formula" en donne deja plein: https://byjus.com/inverse-trigonometric-formulas/

Après c'est sur que si tout le monde fait comme toi l'auteur c'est à dire qu'ils font un topic sans titre clair ça va être difficile à trouver...

Il veut s'afficher

Le 14 avril 2020 à 11:23:52 Tv999999 a écrit :
Il veut s'afficher

Non