Chaque instants étant une infinité en soit Entre deux 1 et 2 secondes il Ya deux asymptotes
Donc une infinité d'élément dans l'intervalle

Donc l'intervalle ]-INF:+inf[
Serai la somme infinit d'intervalles infinit

Donc infinit serait la superposition de plusieurs infinit

Or infinit ne devrai elle pas être le maximum d'élément possible ?

On fait donc inf+inf...+inf
Pour toujours atteindre inf

Avec les nombres naturelles cela semble ne pas fonctioner, et semble illogique

Dsl si je m'embrouille,

Il Ya sûrement des explications théoriques à cela j'aimerai savoir lequels

On peut additionner des infinis, mais il y a en fait plein de notions différentes d'infini à considérer. Toi même dans ton message (peut être sans t'en rendre compte), tu en manipules deux.

Déjà, quand tu écris un intervalle genre ]-∞, +∞[, ou quand tu calcules une limite quand x tend vers +∞, en fait tous les infinis que tu as pu vois au lycée qui s'écrivent avec le symbole ∞, il ne s'agit pas vraiment d'un nombre. Il s'agit juste de parler de valeurs aussi grandes que l'on veut (mais toujours finies).
Tu ne peux pas écrire "x = +∞", ça n'a pas de sens. Tu ne peux pas non plus additionner ces infinis-là, ça n'a pas de sens.
Cet infini là est juste une notation, il n'est pas très intéressant pour ce dont tu parles.

Ensuite, tu nous dis qu'entre 1 et 2 secondes, il y a une infinité d'instants. C'est tout à fait vrai, et si on veut dire ça en termes plus mathématiques, on dira que dans l'intervalle [1, 2], il y a une infinité d'éléments (c'est-à-dire une infinité de nombres compris entre 1 et 2).
Ici on est pas en train de regarder des nombres de plus en plus grands, on est en train de compter le nombre d'éléments de cet ensemble. Et il y en a bel et bien une infinité. C'est pas un truc qui grandit, c'est un nombre fixe, infinie. On appelle ça le cardinal d'un ensemble, son "nombre d'éléments", qu'on peut manipuler même s'il est infini.
Pour le distinguer du symbole ∞, je vais le noter ℶ (ça vient de l'alphabet hébreux, espérons que le caractère s'affiche ).
Maintenant si on regarde le nombre d'éléments de l'intervalle [1, 3], on va pouvoir dire qu'il contient tous les éléments de [1, 2], plus tous les éléments de [2, 3] (sauf que j'ai compté le 2 deux fois, passons, c'est pas très important). On a dit que le cardinal de [1, 2] c'est ℶ, on aurait aussi envie de dire que le cardinal de [2, 3] c'est ℶ, et donc le cardinal de [1, 3] ça serait ℶ+ℶ. (Bien sûr il faudrait définir rigoureusement les choses pour que tout marche bien, je vais pas le faire dans un message JVC d'autant plus que je sais pas du tout quel niveau tu as en maths.)
Et en poussant le truc un peu plus loin, on peut aussi montrer que ℶ+ℶ = ℶ, et même que ℶ + ℶ + ... (à l'infini) = ℶ, c'est un peu ce que tu dis quand tu dis que ]-∞, +∞[ est une somme infinie d'intervalles infinis.

Mais attention, quand on considère des infinis en tant que "nombre d'éléments d'un ensemble infini", on se rend en fait compte qu'il y a en fait des infinis plus grands que d'autres !
Par exemple, si on considère l'ensemble des entiers naturels ℕ, son nombre d'éléments est un infini que je vais appeler ℵ. Eh bien on peut montrer que ℵ est "plus petit" que ℶ. Bien sûr il faudrait définir ce que c'est qu'être "plus petit", mais encore une fois je ne vais pas le faire ici.
Pour donner des exemples, les cardinaux de ℕ, de ℤ, de ℚ sont tous égaux à ℵ. Les cardinaux de [0, 1] et de ℝ sont égaux à ℶ. En fait, ℵ est le plus petit infini qui existe. On sait qu'il existe une infinité d'infinis différents, certains sont extrêmement grands, bien plus grands que ℵ et ℶ. Mais par contre, on ne sait pas s'il existe des cardinaux qui soient compris entre ℵ et ℶ (on appelle ça l'hypothèse du continu).

Et enfin, il y a une troisième notion d'infini, qu'on appelle les ordinaux. Il s'agit d'étendre les entiers pour pouvoir « compter après l'infini ».
Un entier, c'est quoi ? C'est soit 0, soit de la forme n+1 (« le successeur de n »), où n est entier. On peut obtenir tous les entiers en partant de 0 et en appliquant la fonction successeur suffisamment de fois.
Un ordinal, c'est pareil, sauf qu'en plus de 0 et successeur, on a une troisième opération, le passage à la limite. On a donc 0, 1, 2, 3, etc, tous les entiers sont des ordinaux. Mais on peut ensuite définir un nouvel ordinal que je vais noter ω, qui est « le plus petit ordinal qui soit plus grand que tous les entiers ». Et après ω, on peut continuer à compter, ω+1, ω+2, ω+3, etc. Ici, ω+1 est un nombre à part entière, qui est différent de ω. (Avec ℵ, par exemple, on peut montrer que ℵ+1 = ℵ.)
On peut continuer à compter autant qu'on veut, si on fait un nouveau passage à la limite après ω+4, ω+5, ..., on va arriver à ω+ω, qu'on peut aussi écrire ω·2. Puis ω·2+1, ω·2+2, ..., ω·3, .........., et après un nombre infini de passages à la limite, on arrive à ω², puis ω³, ..., ω^ω, etc etc etc.

En fait, il y a un rapport entre les ordinaux et les cardinaux : un cardinal est un cas particulier d'ordinal.
Ainsi, ω et ℵ sont « égaux » (ici ça n'a pas trop de sens vu que j'ai pas défini les choses rigoureusement, mais crois moi c'est vrai !), et si on continue à « compter » bien au-delà de ω^ω, on finira par atteindre un ordinal qui est « égal » à ℶ.

En un peu plus ludique que mon pavé je viens de voir que cette vidéo a été postée dans le topic juste en-dessous :
https://www.youtube.com/watch?v=SrU9YDoXE88

Alpha

Je te remercie davoir pris du temps pour répondre

AlphaCygni, je doute sur un truc que tu dis :

"Ainsi, ω et ℵ sont « égaux » (ici ça n'a pas trop de sens vu que j'ai pas défini les choses rigoureusement, mais crois moi c'est vrai !)"

Dire que ω=ℵ, c'est vraiment bizarre, à la limite tu peux marquer ω=card(ℵ), mais je suis pas sûr qu'on ait le droit non plus, si tu peux m'éclairer

ℵ (ou plutôt ℵ_0 d'ailleurs) c'est pas l'ensemble des entiers naturels, c'est le cardinal de l'ensemble des entiers naturels.
card(ℵ) je sais pas bien si ça a un sens.

On sait qu'il existe une infinité d'infinis différents, certains sont extrêmement grands, bien plus grands que ℵ et ℶ.

Tu les construis comment ? ;o

Le 07 décembre 2016 à 19:52:03 hamster12 a écrit :
AlphaCygni, je doute sur un truc que tu dis :

"Ainsi, ω et ℵ sont « égaux » (ici ça n'a pas trop de sens vu que j'ai pas défini les choses rigoureusement, mais crois moi c'est vrai !)"

Dire que ω=ℵ, c'est vraiment bizarre, à la limite tu peux marquer ω=card(ℵ), mais je suis pas sûr qu'on ait le droit non plus, si tu peux m'éclairer

(Ce que j'appelais ℵ, je le note maintenant ℵ_0 qui est le nom « officiel » comme dit au-dessus)

En théorie des ensembles, on a bel et bien ω=ℵ_0, mais maintenant je me dis que c'était vraiment pas un truc très intéressant à dire. C'est une égalité qui relève du fait qu'on a construit les choses d'une certaine manière dans le cadre de la théorie des ensembles, mais ça n'a en fait pas trop de sens vu que les ordinaux et les cardinaux sont des concepts différents, ils n'ont a priori pas de raison d'être de même nature.
C'est un peu comme le fait que 2 = {0, 1}, en théorie des ensembles c'est vrai parce qu'on a construit les entiers de cette manière, mais c'est "accidentel", ça n'a pas de sens profond.

Bref, ce qui est sur, c'est que card(ω) = ℵ_0. La vidéo youtube au-dessus explique très bien la différence entre cardinaux et ordinaux, les cardinaux se contentent de compter le nombre d'éléments d'un truc, alors que les cardinaux ont une notion d'ordre en plus.

Pour expliquer quand même d'où ça sort : j'ai dit que les ordinaux étaient construits avec trois opérations : l'ordinal zéro, la fonction successeur, et le passage à la limite.
- L'ordinal 0 est défini comme étant l'ensemble vide Ø.
- La fonction successeur est succ(α) = α U {α}
- Le passage à la limite consiste à faire l'union de tous les ordinaux construits précédemment.
Du coup, les entiers naturels sont 0 = Ø, 1 = {0}, 2 = {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, 4 = {0, 1, 2, 3}, etc.
Et en passant à la limite, on obtient le premier ordinal infini, ω = {0, 1, 2, 3, 4, ..... }.
Au passage, on a aussi ω = ℕ, l'ensemble des entiers naturels.
Ensuite, ω+1 = {0, 1, 2, ....., ω}, etc.
On a dit que ω, tout comme ω+1, ou encore ω+ω, ont le même « nombre d'éléments », qu'on appelle leur cardinal et qu'on note ℵ_0. Maintenant, si on veut pouvoir manipuler les cardinaux (les additionner, etc), il faut bien les représenter par des objets mathématiques, et dans la théorie des ensembles, tous les objets sont des ensembles. Alors on choisit (arbitrairement !) de représenter ce cardinal par le plus petit ordinal qui contient ce nombre d'éléments : ω. Au final, ω = ℵ_0, mais c'est juste parce qu'on a choisi de représenter les choses comme ça.
De façon générale on dit qu'un ordinal est un cardinal si son nombre d'éléments est plus grand que celui de tout ordinal plus petit que lui. Le plus petit cardinal qui arrive après ℵ_0, on l'appelle ℵ_1. Celui qui vient juste après, on l'appelle ℵ_2. Et ainsi de suite. Et quand on a défini les ℵ_n, ben on peut faire leur union, ce qui nous donne ℵ_ω ! (C'est pas trivial de vérifier que ℵ_ω est bien un cardinal.) Et puis ensuite ℵ_{ω+1}, et c'est reparti.

Le 07 décembre 2016 à 21:44:35 DingiDing a écrit :

On sait qu'il existe une infinité d'infinis différents, certains sont extrêmement grands, bien plus grands que ℵ et ℶ.

Tu les construis comment ? ;o

Pour l'instant je définissais les ℵ_{α+1} en disant « on prend le premier cardinal qui est plus grand que ℵ_α ». C'est pas évident qu'il existe toujours des cardinaux de plus en plus gros.
Heureusement, on a le théorème de Cantor ! Il dit que étant donné un ensemble E, card(E) < card(P(E)).
Le cardinal de l'ensemble des parties de E est toujours strictement plus gros que le cardinal de E.
Si le cardinal de E est κ, alors le cardinal de P(E) se note 2^κ.
Donc par exemple, le cardinal des parties de ℝ est plus gros que celui de ℝ.
On peut définir une autre hiérarchie : ℶ_0 = ℵ_0, puis ℶ_1 = 2^ℶ_0 (c'est celui que j'appelais ℶ avant), puis ℶ_2 = 2^ℶ_1, et ainsi de suite, ℶ_{α+1} = 2^ℶ_α. Pour passer à la limite, on fait encore l'union de tous les trucs précédents.
On a grâce au théorème de Cantor que ℵ_α ≤ ℶ_α, mais on ne sait rien dire sur l'inégalité inverse, qu'on appelle « hypothèse généralisée du continu ». En fait, c'est encore pire que « on ne sait pas », il a été prouvé que ce n'est pas prouvable avec les axiomes de la théorie des ensembles.

Et si on veut des cardinaux encore plus grands, on a qu'à supposer qu'ils existent !
Par exemple, on dit qu'un cardinal κ est un « cardinal inaccessible » si pour tout cardinal λ < κ, on a 2^λ < κ, et pour toute famille de cardinaux λ_i < κ, on a lim λ_i < k. Ça dit donc précisément qu'il est plus gros que tout ce qu'on sait construire pour l'instant.
L'existence d'un tel cardinal ne peut être ni démontrée ni réfutée, alors on est libres de supposer qu'il en existe pour voir ce qu'il se passe. On pourra alors construire de nouveaux encore plus gros, et quand on sera bloqués, on supposera l'existence de cardinaux hyper-inaccessibles. Puis des hyper-hyper-inaccessibles et des hyper^ω-inaccessibles, et que sais-je encore.
Ça peut paraître délirant comme ça, mais en fait en théorie des ensembles, il y a littéralement un axiome qui dit "il existe un ensemble infini", sans quoi on ne saurait en construire que des finis. On fait juste le même procédé, pour aller au-delà.

Ok merci, je pensais pas que c'était aussi "simple" ;o