C'est un nombre fini ou infini ?

merci..

C'est un nombre fini bien évidement puisque il a une valeur finie.

Par contre on dit que c'est un nombre non décimal puisqu'il s'écrit avec un nombre infini de chiffres après la virgule.

Comment peut-on alors représenter ce nombre ( avec un triangle ) , si le nombre de chiffre après la virgule est in fini ?

√2 est un nombre irrationnel et possède donc un nombre infini de chiffres après la virgule.

Plus d'infos sur wikipedia:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Racine_carr%C3%A9e_de_deux

Et en bonus une petite vidéo sympathique et abordable qui explique pourquoi √2 n'est pas stricto sensus un nombre:
https://www.youtube.com/watch?v=c4X_8cufW3g

Comment peut-on alors représenter ce nombre ( avec un triangle ) , si le nombre de chiffre après la virgule est in fini ?

Panphile a répondu à ta question avec le lien Wikipédia. √2 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1

Et en bonus une petite vidéo sympathique et abordable qui explique pourquoi √2 n'est pas stricto sensus un nombre

Vidéo sympa mais stricto sensus √2 est un bien nombre. Quelque que soit la notation que tu utilises, un nombre reste un nombre. Et ce même si tu ne peux pas connaître sa valeur.

Tout à fait d'accord avec toi Antadriel, j'avoue que bien que la vidéo soit intéressante j'ai aussi du mal à conceptualiser le fait que √2 puisse ne pas être considéré comme un nombre alors qu'il fait partie de la famille des "nombres irrationnels", où l'on retrouve bien le mot "nombre" dans l'appelation.

Je pense que la subtilité réside dans le fait que selon l'auteur "√2" est un calcul et non un nombre, ce qui me paraît légitime, mais cela ne devrait pas pour autant enlever la nature de nombre à ce que représente la racine carré de 2...

En espérant que tout ça soit clair, désolé bezarius pour avoir un peu éloigné le débat par rapport à la question d'origine!

" Panphile a répondu à ta question avec le lien Wikipédia. √2 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 "

T'as pas compris ma question , je sais déjà comment représenter la racine de 2 , mais je veux savoir comment est-ce possible si le nombre après la virgule est infinie , ce serait comme représenter l'infinie avec une droite finie , non?

ce serait comme représenter l'infinie avec une droite finie , non?

Ben non puisque √2 est un nombre fini...

Le développement décimal peut être considéré comme une somme infini de terme. C'est-à-dire que :

√2 = 1,4142.... = 1 + 0,4 + 0,01 + 0,004 + 0,0002 + ....

Le nombre de terme est certes infini. Mais, la somme de ces termes donne un résultat fini.

C'est pas un calcul, c'est la limite d'une suite de rationnels, c'est pour ça que c'est un réel

T'as vu la vidéo ? Ce qu'il veut dire c'est que le nombre √2 ne peut pas être écrit sous sa forme numérique. C'est juste une notation et derrière cette notation se cache bien un calcul qu'on est incapable de résoudre.

En outre, la limite d'une suite de rationnels n'est pas forcement un nombre réel. Par exemple, la limite de la suite 1, 2, 3, 4, ... est infini.

Non mais là tu restes dans l'optique de répondre à la question de l'auteur. Évidement que c'est un réel. Même si je pense que parler de topologie et de suite de cauchy ça risque de l'embrouiller plus qu'autre chose à son niveau.

Mais Panphile et moi on a un peu dévié du sujet en fait. Regarde la vidéo tu comprendras pourquoi on dit que derrière un radical se cache en réalité un calcul non résolu.

J'aurais donc une autre " question " , une énigme que j'ai vu quelque part :

Si on prend une pierre et qu'on veut la lance vers un arbre situé à 1 mètre de nous en plusieurs lancers , à chaque lancer la pierre parcourt la moitié de la distance qui la sépare de l'arbre , par exemple la pierre parcourt 0.5 mètre puis 0.25 mètres puis 0.125 mètres...... est-ce que la pierre finira par atteindre l'arbre alors ?

Bah oui, si je te lance une pierre ça fait mal, l'expérience le prouve.
Pourquoi elle pourrait pas atteindre l'arbre ?

Tu pourrais étayer stp ? Relis bien le problème peut être n'as tu pas bien compris.

Une rapide recherche m'a permis de trouver ça :

Résolution. La différence avec l’Achille est petite mais importante. On sent qu’il y a le même abus à l’oeuvre, à savoir une confusion entre le mouvement physique et sa décomposition dans notre tête. Si dans l’Achille, on pouvait encore déceler l’abus commis dans l’allusion au temps, on est coincé dans la Dichotomie car le temps est cette fois-ci mentionné à l’envers : la décomposition du mouvement se fait en régressant dans le temps et débouche sur l’impossibilité de déterminer la première étape à franchir pour réaliser le mouvement.

Après avoir étudié l’Achille, on se rend compte que la difficulté soulevée par la Dichotomie se trouve surtout dans la formulation de la résolution.

L’abus commis par le vicieux Zénon me semble être le suivant. Le paradoxe suscite, insidieusement, l’idée que le mouvement doit commencer avec une première étape et que celle-ci est à déterminer en réalisant la décomposition mathématique proposée dans l’énoncé. De nouveau, cela est faux : ce n’est pas notre décomposition arbitraire du mouvement qui lui impose la façon de se réaliser.

On se trouve ici dans une situation où un modèle mathématique donné se révèle inadéquat pour décrire un phénomène12. Cela ne signifie pas que le phénomène obéit aux conséquences problématiques dictées par le modèle, mais seulement qu’il faut améliorer, voire changer, le modèle. Le piège que Zénon nous a tendu a été de nous faire supposer une correspondance parfaite entre le modèle et le phénomène.

Qu'en pensez-vous?

On aurait très bien pu faire la même chose avec 2x = 1 et dire que ça n'a pas de solution.
Ce qu'il montre c'est qu'une équation qui n'a pas de solution peut en avoir une dans un ensemble plus grand, c'est pas l'aspect "calculatoire" qu'il faut retenir

Non c'est pas ça. La valeur de 1/2 on la connaît très bien. C'est 0,5. Alors que pour √2 on ne connait pas sa valeur. On peut juste en avoir une approximation, c'est tout. Mais c'est pas satisfaisant en maths. C'est bien de l'aspect calculatoire dont on parle.

Tu pourrais étayer stp ? Relis bien le problème peut être n'as tu pas bien compris.

Il a très bien compris et il a très bien répondu. Bien sûr que que la pierre fini par atteindre l'arbre. Tout le monde le sait. Ton énoncé n'y change rien.

Qu'en pensez-vous?

Y a plus de paradoxe à partir du moment où tu comprends qu'une somme infinie de termes peut donner un résultat fini. La fait qu'une distances sont divisible à l'infini (comme n'importe quel nombre réel) ne veut pas dire que cette distance est inatteignable.

Ce n'est pas ce dit la solution que j'ai posté , et dans les faits comment cette pierre atteindra-elle l'arbre ? si on essaye de faire l'expérience , je vois pas comment elle pourrait finir par atteindre sa cible.

bezarius : En effet, la pierre n'atteint jamais l'arbre (à moins de faire une infinité de lancers...) ils ont dû lire ton message en diagonale en pensant déjà connaître ce "paradoxe" (qui est d'habitude formulé d'une manière un peu différente).

Pour la discussion à propos de la vidéo de micmath, en fait je trouve sa vidéo mal expliquée, il dit plusieurs choses mais les mélange (car il vulgarise trop, c'est un mec compétent en maths ), et du coup on sait pas trop où il veut en venir. Ça amène certaines personnes qui ont mal compris la vidéo à dire des trucs faux comme "√2 n'est pas un nombre". (de toute façon, "être un nombre", ça ne veut rien dire en mathématiques, y'a des entiers, des rationnels, des réels, des complexes... ce sont tous des "nombres").
Du coup, les idées principales de sa vidéo selon moi :

• "Résoudre une équation", dans l'absolu, ne veut rien dire. On résout une équation dans un ensemble, par exemple, x²=2 a des solutions dans R mais pas dans Q. On peut aussi voir ça comme le fait que la solution soit exprimable à l'aide de certaines opération. Ce qu'il dit d'un peu bancal, c'est qu'il utilise le mot "résoluble" comme voulant dire "avoir une solution dans Q", mais il ne précise pas que c'est un choix arbitraire. Comme dit bluepoint plus haut, si on prend l'équation 2x=1 et qu'on sonne au mot "résoluble" le sens de "avoir une solution dans Z", elle n'est pas résoluble non plus.
• Quand il dit que √2 est "un calcul", en fait sans le dire il pense à la définition des réels comme des classes d'équivalence de suites de Cauchy. Quand on donne une suite de Cauchy en approximant √2 de plus en plus précisément, on donne en fait un algorithme qui calcule √2. En quelque sorte, "√2 est un calcul", oui. Mais en fait, c'est un cas particulier. Pour la plupart des réels, bien qu'ils soient, par définition, donnés par des suites de Cauchy, on ne pourra en fait jamais exhiber ou construire une suite qui les définit. Donc ce parallèle "réel ~ calcul" ne marche pas trop.

Effectivement on a lu l’énoncé de bezarius trop vite.... me culpa.

Par contre pour la vidéo je suis pas d'accord. Vous allez beaucoup plus loin que ce qui est dit dans la vidéo. Selon moi, il utilise simplement le terme nombre dans le sens "valeur numérique". Donc √2 c'est pas un nombre dans ce sens là. Il utilise le terme "calcul" dans le sens "calcul d'une valeur numérique". De même, il utilise le terme "résoluble" dans le sens qu'on peut écrire le résultat d'un calcul sous la forme d'une valeur numérique. Ce qui n'est pas le cas pour l'équation x²=1. Par contre, il n'a jamais dit que cette équation n'avait pas de solution. Juste qu'on ne peut pas les calculer.

Pour moi, ça va pas plus loin que ça. Et je convaincu qu'il ne pensait pas une seule seconde à la suite de Cauchy quand il parle de calcul. C'est pas du tout le propos de la vidéo.

C'est encore et toujours une question de résoudre une équation en se plaçant dans une certaine structure

Oui, c'est intéressant ce que vous avez dit à ce propos mais c'était pas de ça dont il était question dans la vidéo. Par défaut on est dans R même s'il ne l'a pas précisé.

Tout nombre est une "valeur numérique"

Je dirai plutôt que tout nombre a une valeur. √2 est un nombre mais n'est pas une valeur numérique. Il en a une, qu'on ne peut pas connaître.

il faut que tu comprennes qu'un nombre n'est pas sa représentation décimale, qui comme son nom l'indique n'est qu'une représentation.

J'en ai parfaitement conscience. J'ai moi-même dit que √2 était un nombre à strictement parler. J'ai juste dit que dans la vidéo, il utilise le terme nombre dans ce sens là (valeur numérique donc représentation décimale oui).

Et il ne parle pas de choses comme les suites de Cauchy justement parce qu'il fait de la vulgarisation

Non, je pense sincèrement que c'est pas le propos de la vidéo. Il dit juste qu'on utilise la notation √2 parce qu'on ne peut pas lui attribuer de représentation décimale. Il ne parle de rien d'autres que de calcul algébrique avec radicaux. Y a pas besoin de connaître les suite de Cauchy pour faire ce genre d'algèbre.

En plus √2 admet une représentation décimale, c'est juste que celle-ci n'est pas périodique

Non. √2 est irrationnel donc par définition une représentation décimale sera toujours incomplète.

c'est pas tellement différent de mettons 1/3 qui admet une infinité de décimales non nulles.

Bien sûr que si ça change tout. On peut connaître toutes les décimales d'un nombre rationnel. Alors que pour un nombre irrationnel c'est impossible.

Si, √2 admet une représentation décimale, comme tous les réels, la représentation décimale d'un nombre est une suite entière d'une infinité de termes qui vérifie une certaine égalité (et un ou deux autres détails)

https://en.wikipedia.org/rg/wiki/Decimal_representation

Tu es sérieux ? Je sais très bien ce qu'est une représentation décimale. Sauf que pour √2 il est impossible d'en connaître tous les termes.

J'aurai tendance à dire qu'il faut distinguer développement et représentation (écriture). √2 admet bien un développement décimal comme tous les réels. Mais pas une représentation (écriture) décimale tout simplement parce qu'on ne peut pas connaître toutes les décimales. On ne peut pas écrire ce qu'on ne connaît pas. Comme je le disais dans mon message précédent, une représentation décimale d'un nombre irrationnel sera forcement incomplète.

on peut très bien connaitre toutes les décimales de certains irrationnels directement, donc ton critère est tout sauf satisfaisant.

La moindre des choses, c'est de donner un exemple, non ?

Une valeur numérique est exprimée par un nombre, pas par une représentation décimale, encore une fois tu fais l'amalgame

Peux-tu me donner ta définition de valeur numérique et de nombre ?