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Sujet résolu : [tenseurs] Terme d'advection dans Navier-Stokes : incompressible VS compressible

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Lagrangien Lagrangien
MP
Niveau 8
18 juillet 2015 à 18:07:45

Salut,

Sur wikipédia comme ailleurs (https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_de_Navier-Stokes#Expression_pour_les_.C3.A9coulements_de_fluides_incompressibles), le terme d'advection s'écrit rho(v div) v dans le cas d'un écoulement incompressible, et div(rho*v prod v) dans le cas général (https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quations_de_Navier-Stokes#Formulation_diff.C3.A9rentielle), avec "prod" le produit tensoriel. Pourquoi ? Pourquoi le fait que rho soit une constante implique-t-il cela ?

Admettons que rho soit constant et égale à 1 à présent.
v prod v définit un tenseur de rang 2 tel que Tij = vi*vj. Du coup, div(v prod v) =
d(vx*vx)/dx + d(vx*vy)/dy + d(vx*vz)/dz d(vx*vy)/dx + d(vy*vy)/dy + d(vy*vz)/dz d(vx*vz)/dx + d(vy*vz)/dy + d(vz*vz)/dz
Cela ne me semble pas du tout égal à l'expression obtenue ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Advection#Advection_d.27une_quantit.C3.A9_vectorielle

Lagrangien Lagrangien
MP
Niveau 8
18 juillet 2015 à 20:33:43

En fait, je peux reformuler ma question d'une manière plus concise et pragmatique:

Pourquoi et dans quels cas l'expression div(rho*v prod v) est-elle égale à rho*(v div) v, où prod est le produit tensoriel, div la divergence, rho une fonction de x,y,z (potentiellement constante) et v un vecteur quelconque en 3 dimensions (x y z)

Lagrangien Lagrangien
MP
Niveau 8
18 juillet 2015 à 22:07:50

Je n'arrive pas à comprendre comment ça permet d'affirmer que div(rho*v prod v) = rho*(v div) v.

Ou encore, est-ce que cette égalité est vraie, et quelles sont les conditions pour qu'elle soit vraie:
div(v prod v) = (v div) v ?

Lagrangien Lagrangien
MP
Niveau 8
19 juillet 2015 à 12:51:45

Merci de ta réponse très claire, et aussi pour ta note sur la notation de l'advection en (u grad)u plutôt qu'en u grad(u). J'ai enfin compris :)

Lagrangien Lagrangien
MP
Niveau 8
19 juillet 2015 à 13:52:55

Bon, je reviens à la charge pour un petit truc purement mathématique.
Si j'ai fait faux à l'origine, c'est parce que je voyais u prod u comme un tenseur, et que j'essayais ensuite de prendre sa divergence de la manière expliquée dans le lien suivant, page numero 10 : http://www.pmmh.espci.fr/fr/Enseignement/Archives/MecaSol/Tenseurs.pdf

Quelqu'un saurait dire pourquoi cette manière de faire ne m'a pas donné le résultat correct ? Qu'est-ce que j'ai fait de faux ? (CF. mon premier post pour le résultat que j'avais obtenu)

Lagrangien Lagrangien
MP
Niveau 8
19 juillet 2015 à 23:10:50

Mon dieu. Ce que je suis ***. :ouch:

Merci :ok:

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