Bonjour, je cherche à résoudre cet exercice.

On considère un fluide de champ de vitesse v(x,t) selon ex dans un canal, de température T(x,t) et de conductivite λ

Il faut déterminer l'equation différentielle vérifiée par T(x,t).

J'ai appliqué le premier principe à une tranche entre x et x+dx pendant dt en notant jq le vecteur densité de flux de masse comme pour l'equation de la chaleur.

On a d(Ec+H)=δ(W+Q) ici W=0
Je trouve au final une équation de la chaleur avec un terme en dv^2/dt dû à dEc mais je ne trouve pas comment passer de la vitesse du fluide v(x,t) à T(x,t)

"Je trouve au final une équation de la chaleur avec un terme en dv^2/dt"

Bah du coup tu l'as ton equa diff non?

Il faut une équation qui n'apparait que le terme de température.

Je pense qu'en utilisant l'équation d'Euler ou la conservation de la masse je devrais trouver une deuxième relation

Sans plus d'informations ca n'est pas possible.

Si tu consideres un ecoulement incompressible avec section constante, alors v est constante (et va aussi modifier la distribution de temperature, je crois que ca va donner l'equation de la chaleur mais dans un referentiel se deplacant a vitesse v).
Si tu consideres un ecoulement incompressible avec section variable, tu peux avoir la vitesse en fonction de la section (mais du coup faut connaitre le section).
Si l'ecoulement est incompressible ca peut etre n'importe quoi a priori.

tu as l'énoncé exact?

L'exercice a été posé comme ça sans hypothèse.

J'ai donc supposé que le fluide n'était pas forcement incompressible avec mu=mu(x,t) mais que la section était constante.

mouais. je te conseille de pas passer + de temps que ça sur l'exo du coup, ça ressemble davantage à un exercice où tu es en discussion avec l'examinateur et où il t'apporte des infos en temps réel.

Je dois le faire pour un TD mais pas grave j'attendrai la correction si j'arrive pas à avancer

Y'a pas grand chose du plus a faire a ce niveau la, y'a pas qu'un d'ecoulement compressible possible dans un canal.. Tu peux pas trouver la vitesse sans infos supplementaires.

Par contre si tu veux supposer que c'est compressible faut faire gaffe avec ce que tu fais pour obtenir l'equa diff, reflechis bien a pourquoi tu dis que W=0

si c'est juste l'énoncé, pourquoi es-tu sûr qu'il faut une équation (aux dérivées partielles, pas différentielle ) portant uniquement sur T ? moi je comprends l'énoncé comme étant : on te donne v(x,t), en déduire T(x,t). et dans ce cas l'équation que tu trouves est ok : v est une donnée

Parce que sinon l'exercice me parait sans intérêt, il s'agirait d'un simple bilan d'énergie

Il doit y avoir une subtilité que je n'ai pas saisi ou bien alors une hypothèse que je devrai moi-même faire pour avancer

"Il doit y avoir une subtilité que je n'ai pas saisi"

Bah deja le dW=0 est faux

Je ne vois pas en quoi il y aurait un travail des forces extérieures si je néglige le poids.

Je crois par contre avoir compris mon erreur. Supposons que le fluide soit incompressible pour simplifier

Par Euler on aura derivee partielle de v par rapport au temps = 0 car v.grad(v) sera nulle par conservation de la masse v(x,t)=v(t) et poids négligé, fluide parfait

Ensuite on applique bien le premier principe mais à gauche on a pas la dérivée partielle de T par rapport à t mais sa derivée particulaire car lorsqu'on fait le bilan sur la particule de fluide comprise entre x et x+dx à t elle se trouve entre x+v(t)dt et x+dx+v(t)dt à t+dt. Du coup on a l'équation de la chaleur avec la dérivée particulaire à gauche

Je sais pas comment tu fais ton bilan mais sur un bilan d'energie applique a une particule fluide on doit considerer le travail des forces de pression.

A la fin tu dois obtenir quelque chose comme (ou une version equivalente):
densite*derivee_particulaire(energie interne + cinetique par unite de massse) =
truc en d2T/dx2
- d(vitesse*pression)/dx
(+travail des forces exterieures si y'en a)

Ah et je comprends pas ton explication, mais c'est faux que dv/dt=0 parce que c'est incompressible. Y'a un terme d epression dans Euler, un ecoulement 1D incompressible peut dependre du temps... Si tu aspires fort dans une paille le liquide va venir plus rapidement que quand tu aspirais moins fort: tu viens de creer un ecoulement 1D incompressible avec dependance temporelle
(a reproduire avec une paille en metal ou bambou ou jsais pas quoi; mais pas en plastique https://www.rd.com/wp-content/uploads/2019/09/Cute-cat-lying-on-his-back-on-the-carpet.-Breed-British-mackerel-with-yellow-eyes-and-a-bushy-mustache.-Close-up-e1573490045672-1024x695.jpg )

J'ai fais un bilan enthalpique donc j'ai déjapris en compte le travail des forces de pression.

Si le fluide est incompressible on a div v = 0 = dérivee partielle de v par rapport à x donc v ne depend pas de x

Ensuite avec Euleur V.grad est nulle est les autres forces volumique aussi (pression uniforme) don derivee partielle de v par rapport a t est nulle

Je sais pas comment tu fais ton bilan mais sur un bilan d'energie applique a une particule fluide on doit considerer le travail des forces de pression.

il a écrit d(H + Ec) dont la pression est déjà comprise dans l'enthalpie
W c'est les travaux des forces autre que celles de pression

Ensuite avec Euleur V.grad est nulle est les autres forces volumique aussi (pression uniforme) don derivee partielle de v par rapport a t est nulle

ça va un peu vite pour moi : en quoi la pression est uniforme ici?

Parce que ça m'arrange mais y a aucune raison que ça soit vrai oui

Le 27 mars 2020 à 17:25:46 Skyzzen_ a écrit :
Parce que sinon l'exercice me parait sans intérêt, il s'agirait d'un simple bilan d'énergie

Il doit y avoir une subtilité que je n'ai pas saisi ou bien alors une hypothèse que je devrai moi-même faire pour avancer

sinon pour répondre à ça : c'est complexe hein ! c'est bien un bilan d'énergie mais sur un système qui bouge dans le temps... du coup les frontières x et à x+dx ne sont pas les mêmes à t et à t+dt : ça dépend justement de la vitesse de ton fluide. bref, c'est vraiment pas trivial à faire, je me rappelle avoir fait un exo similaire faut vraiment bien le dessiner
du coup je pense que v est une donnée ici