Bonjour, je dois calculer la limite de l'intégrale $ \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^n} $ J'ai majoré 1+ x^n par x^n pour ensuite majorer mon expression, après intégrale, par 1/(n-1) qui tend vers 0 qd n tend vers l'infini. Pourtant cette intégrale est censé converger vers 1. Où mon erreur s'est elle glissée.

• il est dit dans mon cours qu'une fonction f admet une limite en un point x si f restreinte à son domaine de définition privé de x admet des limites à droite et à gauche qui sont égales. Il est aussi dit que si une fonction est définie en un point a elle y admet une limite l=f(a)

Pourtant si je considère la fonction f=1/2 sur R* et 0 si x=0,
elle admet une limite en 0 qui vaut 1/2!=f(0). Pourquoi ?

Bah tu peux majorer $\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^n}$ par $\int_{0}^{1}\frac{1}{x^n}$ mais cette dernière ne vaut pas 1/(n-1).

Et pour ta deuxième fonction, elle admet bien une limite en 0 qui vaut 1/2 mais il n'y a aucune raison pour que f soit continue en 0 et donc c'est normal que la limite coïncide pas avec f(0).

Ah oui, elle est pas définie en 0.

Pour la deuxième question, justement dans mon cours il est écrit "si f est définie a et y admet une limite finie l alors l=f(a)" mais il n'y a aucune mention de la continuité. Dans mon exemple la limite est 1/2 !=f(0)=0

Le 19 janvier 2020 à 15:53:05 IntellectSup a écrit :
Ah oui, elle est pas définie en 0.

Pour la deuxième question, justement dans mon cours il est écrit "si f est définie a et y admet une limite finie l alors l=f(a)" mais il n'y a aucune mention de la continuité. Dans mon exemple la limite est 1/2 !=f(0)=0

La limite en 0 c'est 1/2 mais au sens de la limite épointée, pas avec la limite habituelle.

Il est aussi dit que si une fonction est définie en un point a elle y admet une limite l=f(a)

bah non , t'as dû omettre une hypothèse de continuité (en recopiant ton cours ?), relis-le bien.

Pour ton intégrale écris 1/(1+x^n) = 1 - x^n/(1+x^n)

Il y a donc deux définitions de la limite ? Pour moi on ne doit pas prendre en compte le point considéré (cf la limite à droite et à gauche).

Don Doritos, mon prof passe des polycopiés, donc aucune chance d'avoir manqué quelque chose d'autant plus, qu'on aborde les limites puis ensuite la continuité. Merci pour l'intégrale j'ai trouvé du coup

Cf le message de Belzeborg. Pour la définition usuelle, ta fonction n'a pas de limite en 0

Le 19 janvier 2020 à 19:05:11 blue-tamere a écrit :
Cf le message de Belzeborg. Pour la définition usuelle, ta fonction n'a pas de limite en 0

La définition usuelle de la limite c'est celle d'une limite épointée

Ah, celle dont je me souviens c'est celle qui prend en compte aussi le point lui-meme. On n'a pas la meme "usuelle" du coup..
Faut voir ce que l'auteur a dans son cours

Si on compte le point c'est plus ou moins la continuité
Disons que $f:\mathbb R \to \mathbb R$ et $a\in\mathbb R$ et si la limite $\ell$ en $a$ revient à exiger
$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x\in \mathbb R, \vert x-a\vert < \delta \Rightarrow \vert f(x)-\ell\vert < \varepsilon $$
Alors étant donné $\varepsilon > 0$, on choisit un tel $\delta$. Comme $\vert a-a\vert < \delta$ on a
$$ \vert f(a)-\ell\vert <\varepsilon $$
Ceci étant pour $\varepsilon > 0$ arbitraire, $\ell = f(a)$. Dès qu'il y a une limite en un point du domaine de définition, c'est continu... pas tant limite que ça. La définition de la limite consiste justement à remplacer le $\vert x-a\vert < \delta$ par $0<\vert x-a\vert < \delta$.

De manière générale si $X$, $Y$ sont deux espaces topologiques, la fonction $f : X\to Y$ a une limite $\ell$ en $a$ si pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un voisinage $U$ de $a$ tel que $f(U\setminus\{a\}) \subset V$.

Le 19 janvier 2020 à 19:30:31 blue-tamere a écrit :
Ah, celle dont je me souviens c'est celle qui prend en compte aussi le point lui-meme. On n'a pas la meme "usuelle" du coup..
Faut voir ce que l'auteur a dans son cours

Pareil, en L1 on convenait d'utiliser la limite épointée mais dès la L2 on a arrêté (pour des raisons évidentes). Après dans ce genre de cas suffit simplement de dire que la limite épointée existe et donner sa valeur et dire que la limite en tant que telle n'existe pas.

Le 19 janvier 2020 à 19:46:17 DonDoritos2 a écrit :
Si on compte le point c'est plus ou moins la continuité
Disons que $f:\mathbb R \to \mathbb R$ et $a\in\mathbb R$ et si la limite $\ell$ en $a$ revient à exiger
$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x\in \mathbb R, \vert x-a\vert < \delta \Rightarrow \vert f(x)-\ell\vert < \varepsilon $$
Alors étant donné $\varepsilon > 0$, on choisit un tel $\delta$. Comme $\vert a-a\vert < \delta$ on a
$$ \vert f(a)-\ell\vert <\varepsilon $$
Ceci étant pour $\varepsilon > 0$ arbitraire, $\ell = f(a)$. Dès qu'il y a une limite en un point du domaine de définition, c'est continu... pas tant limite que ça. La définition de la limite consiste justement à remplacer le $\vert x-a\vert < \delta$ par $0<\vert x-a\vert < \delta$.

De manière générale si $X$, $Y$ sont deux espaces topologiques, la fonction $f : X\to Y$ a une limite $\ell$ en $a$ si pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe un voisinage $U$ de $a$ tel que $f(U\setminus\{a\}) \subset V$.

Ça reste différent de la continuité. La continuité c'est l'existence d'une limite en un point de définition.

D'apres ce dont je me souviens j'avais appris que quand on ecrit "la limite quand x tend vers a de f(x) est l" alors on doit avoir f(a)=l (si f est bien definie en a) en effet. Sinon on precisait "limite quand x tend vers a, x different de a" pour considerer l'autre inegalite (la limite epoint3e). Mais c'est qu'une question peu interessante de definition, quand ca peut etre ambigu comme ici il suffit de preciser de quoi on parle.

c'est embêtant qu'il y ait plusieurs conventions

Le 19 janvier 2020 à 20:15:26 DonDoritos2 a écrit :
c'est embêtant qu'il y ait plusieurs conventions

Ta convention est la seule correcte ; les autres racontent n'importe quoi

f déf au voisinage de a

f tend vers l en a ssi pour tout epsilon strictement positif, il existe delta strictement positif tq f(disque de centre a et de rayon delta inter ensemble de déf de f) inclus dans disque de centre l et de rayon epsilon

Le 19 janvier 2020 à 20:21:08 Sureminence a écrit :

Le 19 janvier 2020 à 20:15:26 DonDoritos2 a écrit :
c'est embêtant qu'il y ait plusieurs conventions

Ta convention est la seule correcte ; les autres racontent n'importe quoi

Non pas du tout Je ne prétends pas qu'il y ait une meilleure définition qu'une autre.

La limite non épointée a l'avantage d'être compatible avec les compositions, l'autre il faut rajouter des hypothèses.
Ça dépend de ce qu'on veut en faire, faut seulement se mettre d'accord sur la définition. Ce serait bête d'utiliser un résultat invalide car il ne s'appuie pas sur la bonne déf (telle la composition des limites)

Le 19 janvier 2020 à 20:15:26 DonDoritos2 a écrit :
c'est embêtant qu'il y ait plusieurs conventions

Pas vraiment puisque de toutes façons on étudie pas de fonction pour lesquelles les définitions divergent... Si y a un problème entre limite epointée et limite non épointée c'est qu'on a juste mal choisi notre fonction, on oublie sa valeur de discontinuité et voilà.

Honnêtement, à part dans les exos avec des fonctions choisies moches exprès y a aucun cas où la question ne se pose...

La question se pose rarement en analyse classique car la plupart des exos d'analyse classique se basent sur la définition classique.

Maintenant, le fait de s'être rendu compte qu'il n'y a pas qu'une manière de définir une limite a en particulier donné naissance à la théorie des filtres qui, elle, est très utilisée. Dans ce cadre, limite "pointée" ou "épointée" sont juste deux sortes de limites avec chacune un filtre particulier.

Bah c'est surtout que la limite classique induit le prolongement par continuité qui est fondamental et que de plus, l'autre limite s'exprime facilement avec la limite classique grâce à la restriction