Salut,

j'ai réussi à démontrer l'affirmation dans le sens <= SpoilAfficherMasquer Hyp : il existe une fonction g :Y-> X telle que g o f = Id_y
Thèse : f:X->Y est une fonction injective : ∀ x,x' ∈ X, f(x)=f(x') => x = x'
Comme g est la bijection réciproque de f : f(x)=f(x') => g(f(x))= g(f(x')) => x = x' mais je bloque pour =>

Auriez vous une suggestion ?

Il suffit de définir g sur l'image de f noté f(X) puis de la définir de manière quelconque sur le reste de Y
Or f est injective, donc bijective de X dans son image f(X).

Tu peux faire des choses

Bah, tu supposes f injective de X dans Y
tu construis g : x -> y si f(y) = x et un élément quelconque fixé de X sinon

Comme g est la bijection réciproque de f

Attention "bijection réciproque" c'est quand on a g o f = id et f o g = id.
Ici tu n'as que la première moitié. On peut dire que « g est un inverse à gauche de f », ou « g est une rétraction de f » si on veut être pompeux, mais sinon tu peux juste dire « comme g o f = id » ou bien « par hypothèse ».

Pour l'autre implication, déjà petite imprécision de l'énoncé, il faut supposer X ≠ Ø sinon c'est faux Tu veux construire une fonction g : Y → X.
Pour ça tu peux utiliser le fait que pour tout y ∈ Y, il existe au plus un x ∈ X tel que f(x) = y (car f est injective).

ah oui merci les kheys

Le 20 septembre 2019 à 22:49:14 Choucador a écrit :

Comme g est la bijection réciproque de f

Attention "bijection réciproque" c'est quand on a g o f = id et f o g = id.
Ici tu n'as que la première moitié. On peut dire que « g est un inverse à gauche de f », ou « g est une rétraction de f » si on veut être pompeux, mais sinon tu peux juste dire « comme g o f = id » ou bien « par hypothèse ».

Pour l'autre implication, déjà petite imprécision de l'énoncé, il faut supposer X ≠ Ø sinon c'est faux Tu veux construire une fonction g : Y → X.
Pour ça tu peux utiliser le fait que pour tout y ∈ Y, il existe au plus un x ∈ X tel que f(x) = y (car f est injective).

+1 pour le fait de devoir avoir X non vide