Bonjour, pour un exercice il est demandé un exemple d'homomorphisme de semigroupes entre deux monoïdes qui ne soit PAS un homomorphisme de monoïdes.

Si vous avez un exemple à proposer, et accessoirement, un cours structuré sur le sujet je suis preneur.

Voilà une idée proposée, mais je suis sceptique :
A = (N,*), B = (Z,+) deux monoïdes.

soit f: B ---> A un homomorphisme, tel que :
f(b) = 0 pour tout b dans B
Ainsi,
f(0) = 0, qui n'est pas l'élément neutre de A, donc f n'est pas un morphisme de monoïde.
Oui je sais c'est de la merde, quelqu'un a mieux à proposer?

Oui ton exemple marche et il est très bien.

De toute façon, vu qu'on doit avoir f(x) = f(e*x) = f(e) f(x), ton f(x) ne doit pas être simplifiable (sinon automatiquement f(e) = e'). Donc pour trouver un exemple qui marche il faut jouer avec des trucs qui ont des éléments non inversibles, le plus évident étant le 0 pour la multiplication.

Si tu veux un exemple un peu plus rigolo, tu prends f : (ℕ,+) → (ℤ/12ℤ, ×), qui envoie 0 sur 9 et les autres n ≥ 1 sur 3^n mod 12. (il faut vérifier que f(n) = f(0)×f(n) et que f(0) = f(0)×f(0) )
On doit pouvoir faire pareil avec des matrices, pour f(0) tu prends l'identité mais avec quelques zéros sur la diagonale. C'est toujours la même idée

Salut,
je le découvre en même temps que toi : (N, max) est un monoïde de neutre 0.
Si tu définies f = [N -> N ; n -> n+1], tu peux montrer facilement que c'est un homomorphisme de demi-groupes mais pas un homomorphisme de monoïdes.
En espérant ne pas raconter de bêtises !

Le 26 mars 2019 à 18:40:56 BaikenShishido a écrit :
Salut,
je le découvre en même temps que toi : (N, max) est un monoïde de neutre 0.
Si tu définies f = [N -> N ; n -> n+1], tu peux montrer facilement que c'est un homomorphisme de demi-groupes mais pas un homomorphisme de monoïdes.
En espérant ne pas raconter de bêtises !

Non, ce n'est pas un morphisme de semigroupe, tu n'as pas n+m+1 = max(n+1,m+1).
Par contre avec une fonction constante (non nulle), ça marche

Soient n et m deux entiers.
Premier cas : n<m
f(max(n ; m))
=f(m)
=m+1
=max(n+1 ; m+1)
=max(f(n) ; f(m))
Deuxième cas : similaire.

Ah oui, je faisais de (N,+) dans (N,max). Du coup ça marche effectivement avec le max des deux côtés.

Bordel, j'ai posé ça ici dans le désespoir mais je ne pensais pas qu'il y aurait autant de génies sur ce forum

Merci à vous deux pour vos réponses, je méditerai précieusement dessus :D