Salut, j'ai vu en cours que les fonctions de la forme $$ u(t,x) := G_{t} \ast u_0 (x) $$ sont solutions de l'équation de la chaleur $$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u$$, où ;
- $$u_0$$ est une fonction continue de R^n dans R et qui tend vers une constante en l'infini
- Gt est la gaussienne $$G_{t}(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{\left | x \right |^2}{4t}}$$

En exo je dois adapter ce résulat pour montrer que les fonctions de la forme $$u\left ( t,x \right ) := \int_{\mathbb{R}}^{ }u_{0}\left ( x+sz \right )Gt(s)ds$$ (où z est un vecteur de R^n de norme 1) sont solutions de $$\frac{\partial u}{\partial t}=D^{2}u(t,x)(z,z)$$ et je vois pas comment faire.
J'ai montré que ces fonctions peuvent s'écrire comme la convolution $$ G_{t} \ast u_0 (x) $$ sur la droite $$x+\mathbb{R}.z$$ , mais jvois pas quoi en déduire

Help svp le calcul diff c'est vraiment pas mon délire

λB(x,r)=B(λx,λr) et la formule proposée ne fonctionne que si x=0.
Posons y=5 et x=−3. Alors 5x+3y=0, d'où N(−3,5)=0 sans que (−3,5) ne soit le vecteur nul. N n'est pas une norme!
On va donner un contre exemple avec (R2,‖⋅‖∞). Prenons en effet x=(1,0) et y=(1,1). Alors ‖x‖∞=‖y‖∞=1 et ‖x+y‖∞=2 alors que (x,y) est libre.
Oui. La seule difficulté est de montrer que N(P)=0⟹P=0. Mais si P est un polynôme de degré un (donc une fonction affine) qui s'annule en 0 et en 1, alors P est identiquement nul.
C'est vrai! Si N1 et N2 sont équivalentes, il existe c,d>0 tels que cN1≤N2≤dN1. Prenons x∈B2. Alors N2(x)≤1⟹N1(x)≤