Question assez simple : un projecteur peut-il admettre une seule valeur propre? (à priori je dirais non, car 0 et 1, mais je n'arrive pas à le démontrer)

X^2-X est annulateur donc les deux seules valeurs propres possibles sont 1 et 0. La multiplicité de 1 est égale au rang du projecteur.

Si tu prends le projecteur nul il a 0 comme unique valeur propre ; si tu prends l'identité tu as un projecteur avec 1 comme unique valeur propre.

joli, merci bien

Non, puisque un projecteur p vérifie la relation p^2 = p, c'est à dire p^2 - p = 0, donc p(p - 1) = 0, donc X(X-1) est un polynôme annulateur de p.
Tu peux en déduire le polynôme minimal de p, dès lors que p est différent de 0 ou de l'identité, X(X-1) est le polynôme minimal de p.
Et tu sais que l'ensemble des racines du polynôme minimal est exactement le spectre de ton endomorphisme.
Donc un projecteur admet toujours deux valeurs propres, sauf si c'est l'endomorphisme nul (seul 0 comme v.p) ou l'identité (seul 1 comme v.p)

Grilled

aaayyaa hypo j'ai presque envi de supprimer mon message

Si seulement j'avais les pouvoirs pour supprimer les messages sur ce forum

Pas à un vieux khey des topics terminale S