Pourquoi on a $\left \| OA_1-OA_2 \right \|+\left \| OA_3-OA_4 \right \|\leq \left \| OA_1-OA_2+OA_3-OA_4 \right \|+\left \| OA_1-OA_2-OA_3+OA_4 \right \|$

ça ressemble à une identité du parallélogramme un peu bizarre ...

Si tu poses u = OA1 - OA2 et v = OA3 - OA4, ça revient à démontrer ||u|| + ||v|| =< ||u + v|| + ||u - v||.
Du coup j'ai décidé d'élever au carré, et je trouve:

|u|² + |v|² + 2 |u| |v| =< |u + v|² + |u - v|² + 2 |u + v| |u - v| = 2 |u|² + 2 |v|² + 2 |u + v| |u - v| avec l'identité du parallélogramme (je présume que tu travailles avec la norme 2).

Donc c'est équivalent à 0 =< (|u| - |v|)² + 2 |u + v| |u - v| ce qui est effectivement vrai.
Donc par équivalence, on a démontré ce que tu veux je pense

Merci !