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Topic Méthode pour trouver le noyau et l'image d'une application linéaire

Sujet : Méthode pour trouver le noyau et l'image d'une application linéaire

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slahfd
slahfd
MP
12 février 2019 à 13:34:41

https://www.youtube.com/watch?v=wy5uD-wcfiE
Dans cette vidéo , on utilise une méthode différente de celle que j'ai appris en cours pour trouver le noyau et l'image de la matrice.
Dans celle-ci il met la matrice en question à côté de l'identité et réalise des opérations élémentaires sur les colonnes dans le but d’annuler complétement une colonne , les 2 vecteurs restant représentent l'image de la matrice et la colonne de même numéro dans la matrice qu'on obtient après opérations élémentaires sur l'identité.

Je ne vois pas trop pourquoi cette méthode fonctionne, quelles sont les raisons qui font qu'après ces étapes on obtienne le noyau et l'image :(
Autre question : est-il toujours possible d'annuler une colonne dans une matrice, si ce n'est pas toujours possible comment cette méthode pourrait fonctionner ?

Xsansrienbranle
Xsansrienbranle
MP
12 février 2019 à 13:50:32

En gros, cette méthode te permet de trouver, après opération, une nouvelle matrice dont le rang est évident (là il a deux colonnes non proportionnelles et une colonne nulle). Il sait donc qu'avec ses opérations sur les colonnes, il peut trouver un (ou des) vecteur (exemple en notant e1,e2 et e3 la base canonique et u l'endomorphisme canoniquement associé: u(a*e1+b*e2+c*e3)=0 car ça correspond à la colonne de la matrice après les transformations) du noyau.

Il garde l'identité à côté car elle te donne le changement de base pour passer d'une matrice à l'autre (pré à post opération) donc elle te donne les vecteurs de la nouvelle base, i.e tu peux y lire les vecteurs du noyau et de l'image.

Xsansrienbranle
Xsansrienbranle
MP
12 février 2019 à 13:52:13

Et non, on ne peut pas toujours annuler une colonne (exemple trivial la matricé In). Pour pouvoir annuler une colonne, il faut que le noyau de ta matrice soit différent du singleton {0}.

slahfd
slahfd
MP
13 février 2019 à 20:25:01

Merci, j'y vois un peu plus clair , en faisant des opérations sur les colonnes on essaie d'exprimer la matrice dans une autre base (la quelle ?) afin d'avoir le vecteur nul ? la matrice identité à côté nous permet d'avoir l'antécédent du vecteur nul dans la base de départ?

Je pense avancer dans la compréhension du concept mais je reste un peu confus , réaliser des opérations sur les colonnes d'une matrice, ça revient à faire quoi exactement du point de vue d'un système, et après ces opérations on obtient une matrice équivalente ?

TheLelouch
TheLelouch
MP
13 février 2019 à 21:19:52

Ca revient à résoudre un système.
C'est comme si tu partais d'un vecteur X=(x,y,z) et que tu résolvais AX=(0,0,0) en identifiant R3 et les matrice unicolonne (A étant la matrice dont tu cherches le noyau) et que tu cherchais les solutions x,y,z possibles (soit 0,0,0 soit une droite, soit un plan...)

Message édité le 13 février 2019 à 21:20:46 par TheLelouch
slahfd
slahfd
MP
14 février 2019 à 11:04:16

Un des choses qui m'échappent, c'est que quand on a un système, si on réalise des opérations sur les colonnes , cela modifie totalement le système dans ce cas on aura plus un système équivalent non (contrairement aux opération sur les lignes) , cela me perturbe parce que grâce à des opérations sur les colonnes , il arrive à obtenir quelque chose qu'on obtient grâce à la résolution d'un système qu'on résout de manière classique avec des opérations sur les lignes.

Xsansrienbranle
Xsansrienbranle
MP
14 février 2019 à 11:15:24

En faite, il ne résout pas vraiment un système. Comme je te l'ai dit, il raisonne en endomorphisme.
Tu sais (en prenant les notations de mon premier post) que u(ei) représente la colonne i. Par linéarité on a, a*C1+b*C2 qui est équivalent à u(a*e1+b*e2). Donc si tu trouves une combinaison linéaire qui donne une colonne nulle tu auras donc u(a*e1+b*e2+c*e3)=0. C'est la définition d'un vecteur du noyau.

Encore une fois, le fait de répéter les calculs sur I à côté permet de garder une trace, si on doit faire 50 opérations pour trouver la dite colonne nulle (disons C3) il nous suffira de lire la C3 sur la matrice d'à côté (anciennement I).

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