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Topic Fonction réciproque

Sujet : Fonction réciproque

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IntellectSup
IntellectSup
MP
20 janvier 2019 à 19:36:02

Soit la fonction f tel que f(x)=x-e^(-x)

1) Montrer que f est bijective

Je l'ai fait avec la monotonie plus limites à ses bornes de définition mais je me demandais comment on pourrait le faire de la manière standare c'est à dire en montrant l'injection puis la surjection.

je demande ça car ça fait 5 minutes que j'essaie de montrer que si f(x)=f(y) alors x=y, mais je n'arrive toujours pas à "abaisser x" dans les exponentielles, vu que je me retappe du ln(x) de l'autre côté.

2) On note g la réciproque de f. Montrer que g est dérivable.

Voici ce que j'ai fait, je pense que c'est pas clean du tout, donc si vous pouviez me corriger :
f dérivable donc $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a). On pose f(x)=y, f(a)=b$
On considère $\lim_{y\rightarrow b}\frac{g(y)-g(b)}{y-b}=\lim_{f(x)\rightarrow f(a)}\frac{x-a}{f(x)-f(a)}$
(la je pense que ça pêche) : f est continue en a donc c'est équivalent $\lim_{y\rightarrow b}\frac{g(y)-g(b)}{y-b}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{x-a}{f(x)-f(a)}$
D'où $\lim_{y\rightarrow b}\frac{g(y)-g(b)}{y-b}==\frac{1}{f'(a)}$, f' ne s'annulant pas sur R, g est bien dérivable sur R.

Autre question, est-ce que l'on peut balancer la formule générale $g'(x)=\frac{1}{f'(g)}$ et justifier que le dénominateur ne s'annule jamais, pour justifier que la réciproque est dérivable ?

Dernière question : quelle l'explication mathématiques au fait que si g est la réciproque de f alors la dérivée de f n'est pas la réciproque de g' ? Pourquoi en dérivant on perd la réciproque ?

IntellectSup
IntellectSup
MP
20 janvier 2019 à 19:37:04

Pour la première question, je demande une méthode simple, vu que j'ai regardé un peu sur internet et j'ai vu des trucs style fonctions de Lambert etc, mais c'est pas ce que je demande

Sureminence
Sureminence
MP
20 janvier 2019 à 19:57:09

T'arriveras pas à montrer l'injectivité directement en partant de f(x) = f(y). Ici la dérivée est non nulle ça suffit à avoir l'injectivité.
Oui tu peux balancer la formule et dire que la réciproque est dérivable ssi la dérivée est non nulle (le contre exemple à retenir est x^3 qui est bijective mais dont la dérivée s'annule en 0).

Sinon ya aucune raison pour que la dérivée de la réciproque soit la réciproque de la dérivée, fait un dessin avec exp et ln par exemple tu verras bien que les dérivées sont pas reliées comme ça.

Quiquine2
Quiquine2
MP
20 janvier 2019 à 20:35:26

Tu t'es pas mal embêté pour le calcul de la dérivée de g, mais c'est ça. Il y a juste plus simple. Soit x réel.

(gof)( x ) = x par définition de la bijection réciproque. Dérivons cette égalité, comme on connait la dérivée d'une composée de fonction:

(g'of)( x ) f'( x ) = 1 d'où (g'of)( x ) = 1 / f'( x ) donc en posant y = f( x ), donc x = g( y ), on retrouve ta formule: g'( y ) = 1 / (f'og)( y )

Cette formule est extrêmement utile pour calculer des dérivées qu'on arriverait normalement pas à calculer en temps normal par manque d'information. Par exemple, c'est comme ça qu'on arrive à trouver que la dérivée de arcsin c'est 1 / sqrt(1 - x²).

Sureminence
Sureminence
MP
20 janvier 2019 à 21:21:20

Le 20 janvier 2019 à 20:35:26 Quiquine2 a écrit :
Tu t'es pas mal embêté pour le calcul de la dérivée de g, mais c'est ça. Il y a juste plus simple. Soit x réel.

(gof)( x ) = x par définition de la bijection réciproque. Dérivons cette égalité, comme on connait la dérivée d'une composée de fonction:

(g'of)( x ) f'( x ) = 1 d'où (g'of)( x ) = 1 / f'( x ) donc en posant y = f( x ), donc x = g( y ), on retrouve ta formule: g'( y ) = 1 / (f'og)( y )

Cette formule est extrêmement utile pour calculer des dérivées qu'on arriverait normalement pas à calculer en temps normal par manque d'information. Par exemple, c'est comme ça qu'on arrive à trouver que la dérivée de arcsin c'est 1 / sqrt(1 - x²).

Le problème c'est que tu dérives gof alors que tu ne sais pas encore que g est dérivable ; en fait tu sais même pas qu'elle est continue. Ici c'est parce que f est continue et strictement monotone qu'on a g qui est continue et on peut montrer à partir de calculs de limites qu'elle est en fait dérivable.

Un moyen d'éviter tout ces problèmes est de remarquer que f est C^1 et donc d'utiliser les théorèmes sur les C^1 difféomorphisme que l'on voit en bac+1 mais j'ai supposé vu la gueule de l'exercice que c'était un exo de terminale.

Message édité le 20 janvier 2019 à 21:22:06 par Sureminence
IntellectSup
IntellectSup
MP
20 janvier 2019 à 21:37:38

Et comment on détermine la classe d'une fonction ? comment sait-on qu'une focntion est de classe C inf ?

Message édité le 20 janvier 2019 à 21:38:33 par IntellectSup
Sureminence
Sureminence
MP
20 janvier 2019 à 21:39:48

exp est C^infini donc f est clairement C^infini

IntellectSup
IntellectSup
MP
20 janvier 2019 à 21:41:55

Et pour une fonction quelconque, comment fait-on ?

Sureminence
Sureminence
MP
20 janvier 2019 à 21:46:23

Il n'y a pas de recettes miracles, c'est du cas par cas. Il y a des fonctions usuelles dont on sait qu'elle sont C^infini (exp, les polynomes, sin, cos, etc) et on essaye de se débrouiller avec ça. Pour montrer qu'une fonction est C^infini on peut aussi montrer par récurrence qu'elle est C^n pour tout n.

Quiquine2
Quiquine2
MP
20 janvier 2019 à 22:55:37

Le 20 janvier 2019 à 21:21:20 Sureminence a écrit :

Le 20 janvier 2019 à 20:35:26 Quiquine2 a écrit :
Tu t'es pas mal embêté pour le calcul de la dérivée de g, mais c'est ça. Il y a juste plus simple. Soit x réel.

(gof)( x ) = x par définition de la bijection réciproque. Dérivons cette égalité, comme on connait la dérivée d'une composée de fonction:

(g'of)( x ) f'( x ) = 1 d'où (g'of)( x ) = 1 / f'( x ) donc en posant y = f( x ), donc x = g( y ), on retrouve ta formule: g'( y ) = 1 / (f'og)( y )

Cette formule est extrêmement utile pour calculer des dérivées qu'on arriverait normalement pas à calculer en temps normal par manque d'information. Par exemple, c'est comme ça qu'on arrive à trouver que la dérivée de arcsin c'est 1 / sqrt(1 - x²).

Le problème c'est que tu dérives gof alors que tu ne sais pas encore que g est dérivable ; en fait tu sais même pas qu'elle est continue. Ici c'est parce que f est continue et strictement monotone qu'on a g qui est continue et on peut montrer à partir de calculs de limites qu'elle est en fait dérivable.

Un moyen d'éviter tout ces problèmes est de remarquer que f est C^1 et donc d'utiliser les théorèmes sur les C^1 difféomorphisme que l'on voit en bac+1 mais j'ai supposé vu la gueule de l'exercice que c'était un exo de terminale.

De souvenir, si f de A dans B est dérivable, alors f-1 de B dans A est dérivable aussi. Quand on m'a énoncé la propriété que j'ai cité, c'est ce qu'on m'a dit. A condition bien sûr que le dénominateur soit non nul.

Sureminence
Sureminence
MP
21 janvier 2019 à 18:10:00

D'ailleurs je me souviens avoir vu que ce résultat serait faux si on se plaçait pas sur un intervalle :hap: On peut construire une fonction bijective, dérivable en un point avec dérivée non nulle et la réciproque n'est pas dérivable en ce point :hap:

Quiquine2
Quiquine2
MP
21 janvier 2019 à 18:43:49

Le 21 janvier 2019 à 18:10:00 Sureminence a écrit :
D'ailleurs je me souviens avoir vu que ce résultat serait faux si on se plaçait pas sur un intervalle :hap: On peut construire une fonction bijective, dérivable en un point avec dérivée non nulle et la réciproque n'est pas dérivable en ce point :hap:

En effet, la fonction doit être placé sur un intervalle ... :hap:
Ouais bon, faut pas critiquer, ça fait un bail que j'ai pas appliqué cette relation :hap:

CarreDas69
CarreDas69
MP
24 janvier 2019 à 19:05:30

Terminale?? C'est pas du niveau terminale ça c'est L1 non ?

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