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Topic Convexité/ limites

Sujet : Convexité/ limites

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IntellectSup
IntellectSup
MP
19 janvier 2019 à 22:56:30

Bonsoir, deux questions :

Peut-on prouver autrement qu'avec Jensen que $ln((a+b)2/\geq 1/2(ln(a)+ln(b))$

Est-ce que lim $x^n*e^x$ en moins l'infini, avec n fixé donnera toujours 0 ? Que peut on dire si x tend vers - l'infini et que n tend en même temps vers plus l'infini ? (j'ai pensé à utiliser le fait que a^x= exp(xln(a)) ce qui me donne $x^n*e^x=exp(x+nln(abs(x))$

the_ff3_fan
the_ff3_fan
MP
20 janvier 2019 à 00:47:44

Tu persistes a utiliser du latex mais sans la syntaxe qui va avec, on t'as déjà dit que ça piquait les yeux :hap:

Sinon le "tendre en même temps vers l'infini" est un peu ambigu, comment tu définierais ça ? :( En général tu fais tendre l'un puis l'autre, les 2 en meme temps ça veut rien dire

IntellectSup
IntellectSup
MP
20 janvier 2019 à 11:40:55

Dans ce cas là on fixe x très très petit et on fait tendre n vers plus infini ou encore on fixe n très très grand et on fait tendre x vers moins l'infini. D'ailleurs je vois pas pourquoi on pourrait pas faire tendre l'un et l'autre vers ce que l'on veut, comme pour les fonctions à deux variables quoi.

Quiquine2
Quiquine2
MP
20 janvier 2019 à 11:44:35

En ce qui me concerne, c'est sûr que la limite en -oo de x^n exp( x ) ce sera TOUJOURS 0. Ce sont les croissances comparées. Quant à les démontrer, j'avoue avoir oublié :hap:
Après, quand à faire tendre l'un ou l'autre l'un après l'autre ben ... Le soucis c'est qu'il n'est pas obligé que t'ait les mêmes limites. A priori, y'a aucune raison que la limite quand x tends vers -oo de la limite quand n tends vers +oo soit la même que la limite quand n tends vers +oo et quand x tends vers -oo.

Et quant à parler de problème de syntaxe bizarre, c'est quoi ton inégalité avec les ln ? Je l'ai pas comprise :hap:

IntellectSup
IntellectSup
MP
20 janvier 2019 à 11:57:22

Merci.
1) Tu aurais un lien avec la démonstration ? J'ai cherché sur internet, j'ai rien trouvé
2) Je demande s'il existe un autre moyen qu'avec Jensen, de prouver que $ln(\frac{a+b}{2})\geq \frac{1}{2}(ln(a)+ln(b))$ (par exemple en fixant a et en étudiant le signe de la fonction selon b...

Quiquine2
Quiquine2
MP
20 janvier 2019 à 12:10:23

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_des_croissances_comparées
Il semble que Wikipédia offre une démo très générale et satisfaisante, quoiqu'un peu lourde je trouve ^^

Sinon, pour l'inégalité, je pense qu'il y a effectivement moyen de faire comme tu as dis, mais je pense qu'il y a encore plus simple. Si on part de cette inégalité, on peut appliquer l'exponentielle ce qui nous permet de trouver (a + b) / 2 >= sqrt(ab) (avec 1/2 ln( a ) = ln(sqrt(a))).
En appliquant la fonction carrée, on trouve (a + b)² >= 4ab ce qui équivaut à dire que (a - b)² >= 0, ce qui est bien vrai. A priori, je n'ai fais qu'un sens, donc il faudrait faire la réciproque. On prends alors a et b strictement positif (pour le ln). On a (a - b)² >= 0, donc, en revenant en arrière, j'ai (a + b) / 2 >= sqrt(ab), ce que j'ai le droit de faire car a et b sont strictement positifs. Et en appliquant le logarithme, on a ce qu'on veut.

EDIT: Si tu connais l'inégalité arithmético-géométrique, on peut appliquer directement ce résultat. En fait cette inégalité dit que la moyenne géométrique (la racine n-ème du produit de n termes) est inférieure à la moyenne arithmétique. Dans notre cas, ça donne donc directement sqrt(ab) =< (a + b) / 2

Message édité le 20 janvier 2019 à 12:12:15 par Quiquine2
IntellectSup
IntellectSup
MP
20 janvier 2019 à 14:04:14

Merci beaucoup !

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