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Sujet : Convergence en loi

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_Franck_Ribery_
_Franck_Ribery_
MP
22 janvier 2019 à 22:51:21

Bonsoir,

Soit 0 < a < 1. Soit (Xn) une suite de variables aléatoires réelles telle que pour tout entier naturel n, Xn suit une loi géométrique G(a/n) (de paramètre a/n).

Comment montrer que la suite (Xn/n) convergence en loi vers une certaine variable aléatoire à déterminer?

J'ai essayé en calculant la fonction de répartition de Xn mais ça mène à rien..

Prauron
Prauron
MP
22 janvier 2019 à 23:46:53

Pour x > 0, P( Xn/n =< x) = P(Xn =< nx), mais attention, Xn est à valeurs dans N*, donc P(Xn =< nx) = P(Xn =< [nx]), en notant [nx] la partie entière de nx. Or P(Xn =< [nx]) = 1 - (1 - a/n)^[nx], puisque Xn ~ G(a/n), ce qui converge vers 1 - exp(-ax) quand n tend vers l'infini. On reconnaît la fdr d'une Exp(a).

_Franck_Ribery_
_Franck_Ribery_
MP
23 janvier 2019 à 07:59:18

Merci pour la fonction de répartition je viens de capter

Mais je vois pas comment tu obtiens 1- exp(-ax) en faisant tendre n vers p+inf

blue-tamere
blue-tamere
MP
23 janvier 2019 à 14:43:11

(1-a/n)^[nx] = exp([nx] * ln(1-a/n)) ~ exp(- nx * a/n) ~ exp(-ax)

_Franck_Ribery_
_Franck_Ribery_
MP
24 janvier 2019 à 15:23:00

Le 23 janvier 2019 à 14:43:11 blue-tamere a écrit :
(1-a/n)^[nx] = exp([nx] * ln(1-a/n)) ~ exp(- nx * a/n) ~ exp(-ax)

pourquoi l'équivalence supprime la partie entière?

mais merci j'avais pas pensé à l'équivalence :ok:

Mecaflu
Mecaflu
MP
24 janvier 2019 à 16:14:10

n*x = [n*x] + d(n*x), avec d(n*x) la partie décimale de n*x. on a 0 < d(n*x) < 1 en particulier
donc [n*x] = n*x - d(n*x), d'où [n*x]/(n*x) = 1 - d(n*x)/(n*x). or d(n*x)/(n*x) tend vers 0 quand n tend vers l'infini : on a donc [n*x] ~ n*x

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