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Topic Incompréhension Matrice échelonnée

Sujet : Incompréhension Matrice échelonnée

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slahfd
slahfd
MP
21 janvier 2019 à 16:07:58

Quelques choses m'intriguent dans la réduction de matrices en matrices échelonnées.

https://www.noelshack.com/2019-04-1-1548082500-capture.png
Je comprends les manipulations algébriques réalisées mais une chose me tracasse, j'avais lu que la forme échelonné d'une matrice était unique mais si je ne m'abuse il y a plusieurs moyens d'obtenir une matrice échelonnée en réalisant des opérations élémentaires.

Par exemple sur la matrice que j'ai postée :
-On réalise la même première étape
-On fait L3-2*L2
-On fait L4+(4/3)L3
Cela donne aussi une matrice échelonnée non ?

Autre chose qui m'échappe : quand on réduit une matrice sous forme échelonnée, on obtient une matrice égale à la précédente ou une matrice différente ?

Merci de m'éclairer sur ces points:hap:

Hypobowling
Hypobowling
MP
22 janvier 2019 à 17:12:38

J'ai pas regardé les détails de tes calculs, mais cela doit être faux car oui la forme échelonnée d'une matrice est unique.
En effet soit A une matrice, et B sa forme échelonnée. Il existe donc une matrice P inversible telle que PA = B.
Si X est un vecteur colonne, on a alors :
AX = 0 <=> PAX = 0

Donc le noyau de PA, c'est à dire le noyau de B, est égal à celui de A. Et comme une matrice échelonnée peut être reconstruite à partir de son noyau, on a unicité de B.

"quand on réduit une matrice sous forme échelonnée, on obtient une matrice égale à la précédente ou une matrice différente ?"

Il faut voir ce que tu entends par "matrice égale". Si on parle de l'égalité matricielle, deux matrices sont égales si et seulement si tous leurs coefficients sont égaux, ce qui n'est pas le cas ici.

En revanche en échelonnant une matrice, tu obtiens une matrice qui lui est équivalente.

blue-tamere
blue-tamere
MP
22 janvier 2019 à 18:19:10

Il n'y a pas unicite de "la" forme echelonnee d'une matrice, il y a une infinite de facon d'echelonner une matrice. C'est un resultat immediat en ayant en tete les operations authorisee sur les lignes et colonnes

On peut avoir l'unicite si on impose une contrainte sur les coefficients (voir matrice echelonnee reduite)

Hypobowling
Hypobowling
MP
22 janvier 2019 à 19:41:39

Ah oui je parlais de la forme échelonnée réduite :hap:

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