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Topic Expression d'une intégrale

Sujet : Expression d'une intégrale

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Polyphemee
Polyphemee
MP
20 janvier 2019 à 16:22:38

Je voudrais montrer que In = intégrale de 0 à 1 de (ln(t)^n)/(1-t)dt vaut (-1)^n * n! * zeta(n+1) :(

J'ai bien une égalité https://image.noelshack.com/fichiers/2019/03/7/1547997723-sans-titre.png et en "identifiant" je trouve le bon In seulement je crois pas que je suis censé devoir utiliser de résultats sur les séries entières :(

Message édité le 20 janvier 2019 à 16:23:10 par Polyphemee
CJews
CJews
MP
20 janvier 2019 à 16:44:54

Tu as un résultat classique pour $\mathrm {Re}(s)>1$ :
$$ \Gamma(s)\zeta(s) = \int_0^\infty \frac{u^{s-1}}{\mathrm e^u - 1}\,\mathrm du $$
Si tu fais le changement de variable $t = \mathrm e^{-u}$ tu obtiens :
$$ \Gamma(s)\zeta(s) = \int_0^1 \frac{(-\log t)^{s-1}}{1-t}\,\mathrm dt $$
avec la détermination principale du log. En particulier pour $n$ entier :
$$ (-1)^n\cdot n! \cdot \zeta(n+1) = (-1)^n\cdot \Gamma(n+1)\zeta(n+1) = \int_0^1 \frac{(\log t)^{n}}{1-t}\,\mathrm dt $$

Message édité le 20 janvier 2019 à 16:46:38 par CJews
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