Bonjour, le théorème de dualité L^p-L^q est :

Soit $(X,\mathscr{A},\mu)$ un espace mesuré $\sigma-$ fini, $p\in [1,+\infty[$ et $q$ son exposant conjugué. Alors le dual topologique de $L^p$ s'identifie isométriquement à $L^q$.

Ma question est : pourquoi supposer l'espace $\sigma-$ fini ? Y a t-il un contre-exemple pour lequel ce n'est pas vrai sinon ?

Autre question : Je pose $X=${a,b} avec comme tribu $\mathscr{A}=\mathcal{P}(X)$ et $\mu$ la mesure définie par $\mu(a)=1$ et $\mu(b)=+\infty$. Caractériser $L^\infty$ et le dual de $L^1$. Conclure.

Je ne vois pas tellement comment faire, ni ce qu'il faudrait conclure...

Merci d'avance.

Ton exercice est justement le contre-exemple que tu demandais.
Il faut donc conclure que $L^\infty$ n'est pas le dual de $L^1$.

Pour caractériser ces deux espaces, il n'y a pas de grand secret, ça se fait à la main : à quoi ressemble une fonction intégrable sur cet espace X ? Quel espace-vectoriel ça donne ? C'est quoi son dual ?