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Sujet : Normal de pas comprendre d'où sort la forme exponentielle d'un nombre complexe en TS ?

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Polyphemee Polyphemee
MP
Niveau 10
17 août 2017 à 21:57:01

C'est normal de pas voir le lien entre la forme trigonométrique d'un nombre complexe et sa forme exponentielle ? Fin je vois mal le rapport entre la fonction exponentielle et les sinus/cosinus avec i et l'angle théta et on nous balance juste que les deux formes sont égales https://image.noelshack.com/fichiers/2016/39/1475401891-valls2.gif

Bahar Bahar
MP
Niveau 46
17 août 2017 à 22:04:27

Comme l'argument vérifie une propriété propre aux exponentielles (transforme une somme en produit), on se permet la notation avec le e qui est beaucoup plus confortable. C'est juste une notation en gros (du moins dans le programme de TS, mais j'imagine que bientôt ce sera hors-programme :hap: )

Mais plus tard tu verras que cette égalité est vraie si tu continues les maths et elle te sera même prouvée :hap:

Wimp_matiere Wimp_matiere
MP
Niveau 21
17 août 2017 à 22:06:16

ça veut rien dire forme expo les deux se nomment forme trigo.

Bahar Bahar
MP
Niveau 46
17 août 2017 à 22:08:14

En terminale on l'appelait forme exponentielle aussi

Wimp_matiere Wimp_matiere
MP
Niveau 21
17 août 2017 à 22:14:55

ouais bah c'est pour ça que je lui dis...:hap:

Polyphemee Polyphemee
MP
Niveau 10
17 août 2017 à 23:25:17

Mais donc le e de la fonction exp (~2.7....) et le e de la forme exponentielle n'ont rien à voir ?

Pseudo supprimé
Niveau 9
17 août 2017 à 23:33:10

Ouai j'ai rien compris aussi ça sort complètement du chapeau https://image.noelshack.com/fichiers/2016/36/1473263957-risitas33.png
Quand j'ai demandé à ma prof pourquoi on utilisait le symbole exponentielle pour la forme trigonométrique elle m'as dit "ça vérifie une relation de la fonction exponentielle donc ça marche" https://image.noelshack.com/fichiers/2016/26/1467335935-jesus1.png

W_Wenders W_Wenders
MP
Niveau 10
17 août 2017 à 23:43:12

Le 17 août 2017 à 23:33:56 Polyphemee a écrit :

Le 17 août 2017 à 23:33:10 Genius_ a écrit :
Ouai j'ai rien compris aussi ça sort complètement du chapeau https://image.noelshack.com/fichiers/2016/36/1473263957-risitas33.png
Quand j'ai demandé à ma prof pourquoi on utilisait le symbole exponentielle pour la forme trigonométrique elle m'as dit "ça vérifie une relation de la fonction exponentielle donc ça marche" https://image.noelshack.com/fichiers/2016/26/1467335935-jesus1.png

mais donc on pourrait noter l'argument avec le ln ? https://image.noelshack.com/fichiers/2016/36/1473263957-risitas33.png [[sticker:p/1lmb]] comme ça vérifie aussi des propriétés

Le problème c'est que ta définition de l'exponentielle est pas terrible (unique solution sur R de l'équation y' = y qui vaut 1 en 0) vu que tu sais pas pourquoi y'a une unique solution. Mais en fait la notation exponentielle complexe c'est aussi l'unique solution sur C de la même equadiff, mais ça sort du chapeau aussi pour la même raison.

Donc ça aurait pas de sens de noter avec le ln vu que c'est «juste» le prolongement de la fonction exponentielle sur le plan complexe, mais ça avant la fin de L1/ L2 de maths t'as pas trop les moyens de le prouver, faut arriver à définir l'exponentielle d'une autre manière.

Wimp_matiere Wimp_matiere
MP
Niveau 21
17 août 2017 à 23:47:54

non c'est bien e de la fonction exponentielle.

en maths sup vous pourrez partir de la trigo pour aboutir au formule pour l'exponentielle complexe.

en maths spe vous pourrez faire l'inverse en sachant que Vx€R, e^ix=Somme pour n variant de 0 à +oo de ((ix)^n)/n!.
(oui sans le lateX c'est très moche :hap:)

Pseudo supprimé
Niveau 2
18 août 2017 à 00:13:24

Le 17 août 2017 à 23:47:54 Wimp_Matiere a écrit :
non c'est bien e de la fonction exponentielle.

en maths sup vous pourrez partir de la trigo pour aboutir au formule pour l'exponentielle complexe.

en maths spe vous pourrez faire l'inverse en sachant que Vx€R, e^ix=Somme pour n variant de 0 à +oo de ((ix)^n)/n!.
(oui sans le lateX c'est très moche :hap:)

Pardon mais le e de la forme "exponentielle" et le e de la fonction exponentielle n'ont strictement rien à voir, si ce n'est la manière de les noter... On note le nombre complexe cos(theta) + i*sin(theta) comme e^{i*theta}, c'est connu aussi sous le nom de notation d'Euler. La fonction exponentielle et cette notation n'ont vraiment rien à voir, c'est juste qu'on utilise cette notation car les arguments des complexes se comportent de façon similaire aux opérations sur les exponentielles :)

Bahar Bahar
MP
Niveau 46
18 août 2017 à 00:16:34

Il existe une "preuve" pour te convaincre :

Soient f et g les fonctions définies par f(x)=exp(ix) et g(x)=cos(x) + i.sin(x) pour x réel.

f et g sont dérivables et pour x réel :
f'(x)=i.exp(ix) = i.f(x)
g'(x)=-sin(x) + i.cos(x) = i.cos(x) + (i^2).sin(x) = i.g(x)

Ainsi dériver f et g revient à les multiplier par i.
Introduisons h définie par h=f/g.
g n'étant jamais nulle (évident), h est bien dérivable et pour x réel :
h'(x) = (f'(x).g(x) - f(x).g'(x))/g(x)^2

= (i.f(x).g(x)-i.f(x).g(x))/g(x)^2

= 0

h est donc constante. Sa valeur en 0 valant 1 (exp(0)/cos(0)), h est égale à 1, et donc f=g, d'où l'égalité :ok:

J'ai seulement admis le fait que x |--> exp(a.x) était dérivable dont la dérivée vaut a fois elle-même, même si a est complexe, ce qui devrait pas trop gêner.
J'ai aussi admis que (i.f)' = i.f' mais osef :hap:

Ça devrait te rassurer un minimum :ok:

Bahar Bahar
MP
Niveau 46
18 août 2017 à 00:18:18

Et je contredis vdd, ce sont bien les mêmes e, seulement les prof de TS l'ont toujours caché

Pseudo supprimé
Niveau 2
18 août 2017 à 00:22:21

Au niveau de Terminale, la fonction exponentielle est définie sur R, ils n'ont rien vu sur les développements limités, alors quand on dit que le e de e^{i * theta} est le même que celui de la fonction exp... :) Au passage, en math sup on avait posé e^{i * theta} comme une notation pour le complexe cos(theta) + i * sin(theta), après ça dépend toujours bien évidemment de la façon dont chacun introduit telle chose...
Mais c'est tout à fait vrai si l'on pense la fonction exp comme autre chose qu'une fonction définie sur R ;)

Wimp_matiere Wimp_matiere
MP
Niveau 21
18 août 2017 à 00:41:54

jppp.

Niverolle Niverolle
MP
Niveau 10
18 août 2017 à 01:32:33

Les profs de TS ne "cachent" rien, c'est juste deux façons de dire la même chose... Qu'on dise "c'est juste une notation" ou "c'est la bonne façon d'étendre exp à l'ensemble C", dans tous les cas, on est en train de définir une nouvelle fonction, et on décide judicieusement de l'appeler exp parce qu'elle vérifie la même équa diff que l'exponentielle réelle qu'on connait déjà. Y'a rien à prouver, on définit un nouvel objet, on aurait pu l'appeler différemment. Il se trouve que c'est vachement pratique de voir ça comme une puissance.

Niverolle Niverolle
MP
Niveau 10
18 août 2017 à 01:58:05

Quand on est en TS, on connaît :
- la fonction exponentielle sur R, e^x où e est la constante 2.718...
- élever à une puissance réelle, a^b où b est réel.

Bon, maintenant on arrive et on définit une fonction complexe, qui fait des cos(x) + i sin(x) machin truc, super.

Et là le prof dit "on va la noter e^z", comme l'exponentielle.

L'élève de TS est confus, en effet la notation semble déjà prise... Le truc, c'est qu'élever un nombre à une puissance complexe, on n'a toujours pas défini ce que ça voulait dire. L'élève de TS a l'impression que prendre le nombre e = 2.718truc et l'élever à la puissance ix, ça devrait déjà avoir un sens, et il faudrait prouver d'une certaine manière que ça fait bien cos(x)+i sin(x). Mais non, ce truc n'a pas encore de sens. A priori, ça ne veut rien dire du tout de prendre un nombre et de l'élever à la puissance i. Avant de se demander combien ça fait, il faudrait déjà définir ce que ça veut dire, cette notation. Et c'est justement ce qu'on est en train de faire. On définit que e^ix, c'est une notation pour dire cos(x)+i sin(x). Et pourquoi on choisit de noter ça comme ça, bah parce que ça vérifie les mêmes propriétés que l'exponentielle réelle et qu'on ne sera donc pas dépaysés pour la manipuler.

Certes comme dit plus haut il y a quand même des questions d'unicité à se poser pour s'assurer qu'on ne fait pas n'importe quoi et que c'était la seule façon de définir l'exponentielle complexe.
Mais au final ce n'est pas beaucoup plus profond que "on le note comme ça parce que c'est pratique".

Bahar Bahar
MP
Niveau 46
18 août 2017 à 07:27:42

Dans ce cas on ne peut pas dire que les deux "e" n'ont rien à voir, si l'un prolonge l'autre il s'agit bien du même dans le fond

W_Wenders W_Wenders
MP
Niveau 10
18 août 2017 à 10:36:06

Le 18 août 2017 à 01:32:33 Niverolle a écrit :
Les profs de TS ne "cachent" rien, c'est juste deux façons de dire la même chose... Qu'on dise "c'est juste une notation" ou "c'est la bonne façon d'étendre exp à l'ensemble C", dans tous les cas, on est en train de définir une nouvelle fonction, et on décide judicieusement de l'appeler exp parce qu'elle vérifie la même équa diff que l'exponentielle réelle qu'on connait déjà. Y'a rien à prouver, on définit un nouvel objet, on aurait pu l'appeler différemment. Il se trouve que c'est vachement pratique de voir ça comme une puissance.

Après en TS ils savent pas dériver l'exponentielle complexe donc ils peuvent pas le justifier par l'equadiff, c'est un peu dommage quand même

Pseudo supprimé
Niveau 10
18 août 2017 à 15:36:41

Pour justifier pleinement la notation exponentielle dans le cas complexe il faudrait pouvoir parler de prolongement analytique ou de série entière... Actuellement, vu comment est fait le programme il me paraît difficile de l'enseigner autrement que part "un prolongement pertinent de notation".

D'ailleurs, une mauvaise langue pourrait arguer que pour un TS, e^x avec x réel n'a au final pas plus de sens que e^z avec z un complexe.

Message édité le 18 août 2017 à 15:38:13 par
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