Salut

J'ai du mal à saisir 2 choses.

D'abord on énonce le théorème :

Soit T une théorie capable de formaliser l'arithmétique + récursivement axiomatisable
Alors T cohérente => la cohérence de T n'est pas démontrable dans T

1ère chose que je n'arrive pas à comprendre, au début je pensais que c'était le théorème mais c'est au final plus général :

En prenant la contraposée on obtient :
Soit T une théorie capable de formaliser l'arithmétique + récursivement axiomatisable
Si T prouve un énoncé démontrant sa cohérence alors T est contradictoire

Je n'arrive pas à concevoir la chose, en d'autres termes ceci est absurde pour moi. Pour la simple et bonne raison qu'un énoncé démontré dans une théorie, à partir de ses axiomes, est tout simplement une certitude.... dans cette théorie seulement, je suppose ? pas forcément dans l'absolu (1*) ou dans une autre théorie (2*).

Si on se réfère à (2*) ça veut dire que le résultat obtenu "T est contradictoire" est vraie au moins dans une autre théorie T0 alors (laquelle ?).
Je pense que ça n'a pas de sens puisqu'il ne faut pas oublier "T est cohérente" est vraie dans T, si on a aussi "T est contradictoire" dans T0, ça veut dire que T0 est "plus légitime" que T (sinon le théorème n'a pas d'intérêt), bref ça veut rien dire.

Si on se réfère à (1*) ça veut dire que le résultat obtenu "T est contradictoire" est vraie "dans l'absolu", sauf que je pensais que "l'absolu" et les "certitudes absolue" n'existaient pas en maths et qu'il fallait toujours travailler dans le cadre d'une théorie (ie des axiomes que l'on admet), et donc une proposition n'a de sens que dans le cadre d'une théorie.
En reformulant ma question (de manière générale comme je l'avais dit), ça donne alors : <<les théorèmes de logique sont vraies et s'expriment "absolument" ?>>
Dans ce cas-là on démontre ces théorèmes à partir de quoi alors, de rien ?
Et donc pour prouver ces théorèmes là on utilise quoi alors, juste ce qu'on pourrait appeler "la logique élémentaire" et dont la "véracité" repose sur le bon-vouloir de comment la nature concorde "intuition" et "réalité" ? (dans ce cas là c'est une démarche non-scientifique faut l'savoir hein )
J'aurais peut-être (au moins partiellement) des réponses en lisant la démo de justement l'un des théorèmes de Gödel par exemple, qui sont des théorèmes de logique, mais j'ai la flemme ( ), quoi que j'en avais partiellement lue une (celle qui utilise l'argument de diagonalisation il me semble) mais ça répondait pas à ma question car je me disais justement à chaque ligne "d'accord mais de quel droit on a le droit d'affirmer ça ?"

[En passant, un problème se pose aussi pour les théorèmes "classiques" dans une théorie, démontrées à partir d'axiomes, puisque ces axiomes reposent sur des définitions, et qu'une définition est bancale en réalité puisqu'il n'existe pas de "dictionnaire" du "dictionnaire", pire encore les définitions sont réalités elles-mêmes des propositions (vraies ou fausses), comme par exemple "un réel positif := une limite positive d'une suite de Cauchy", voyez à quel point on se mord la queue. On peut aussi raisonner autrement en disant qu'un axiome n'est qu'une définition de la structure de laquelle on parle, et de manière équivalente c'est un mode d'emploi des symboles que l'on utilise (exemple : dans le contexte de la géométrie euclidienne, le cinquième postulat est vrai, dans une géométrie non euclidienne il est faux, et dans le contexte des entiers naturels il n'a pas de sens)..]

2ème chose que je n'arrive pas à comprendre

Sur wikipedia langue française https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Théorèmes_d%27incomplétude_de_Gödel (Onglet "énoncé des deux théorèmes", tout à la de l'onglet
(à partir du dernier paragraphe en italique qui est justement la contraposée du théorème) on peut lire :

(... la contraposée) ne dit rien dans le cas où T démontre un énoncé exprimant qu'elle n'est pas cohérente. De fait, on peut déduire du second théorème cette conséquence, apparemment paradoxale, qu'il existe des théories non contradictoires démontrant leur propre incohérence.
Là aussi j'ai du mal à comprendre. La contraposée est de la forme

"Soit T blabla
Si A(T) alors B(T)"

où blabla = les 2 hypothèses données précedemment que T satisfait
A(t) = t prouve sa cohérence
B(t) = t est contradictoire

Si on introduit <<C(t) = t prouve sa non-cohérence>>, l'article nous dit alors :

la contraposée ne donne aucune information sur C(T) = "T prouve sa non-cohérence", alors automatiquement on a qu'il existe une théorie T0 tel que (C(T0) et non B(T0))

Je vois pas pourquoi. Et donc je peux aussi prendre un énoncé D quelconque qui n'est pas formulée dans la contraposée et dire "comme la contraposée ne parle pas de D alors il existe T0 tel que (D et non B(T0)) ?

Salut.

Chose passionnante que ce second théorème d'incomplétude de Gödel !

Pour ton premier point, tout d'abord, effectivement, si T prouve prouve sa propre cohérence, celle-ci est un théorème de T, dérivable syntaxiquement en partant de ses axiomes, et également vraie dans tout modèle de T. Mais j'ai quand même du mal à comprendre pourquoi tu introduis tes (1*) et (2*)... Tu écris que la cohérence de T n'est à priori pas vraie dans une autre théorie ou dans l'absolu, pour finalement considérer ces deux cas... Surtout que deux théories différentes ne parlent à priori pas du tout de la même chose, elles n'ont même pas les mêmes constantes, les mêmes fonctions... Il est tout à fait possible que la cohérence de T ne soit même pas une proposition exprimable dans une autre théorie T0... De plus, effectivement, on ne peut pas prouver la cohérence de notre système de logique, c'est effectivement quelque chose de très frustrant, qui nous indique qu'à un moment, nous devons bien faire la part des choses et faire confiance à notre manière humaine de raisonner...

Pour ton second point, la preuve de l'existence de ta théorie T0 est donnée juste après dans ton lien.. Mais j'avoue que je ne l'ai pas lue encore. Peut-être qu'effectivement, ça marche aussi pour une proposition arbitraire D. Je regarde ça.

Et, après lecture, non, ça ne marche à priori pas pour une autre proposition D. Il y a bien écrit "De fait", et non "De ce fait", d'ailleurs.

Tu mélanges à la fois le méta et les maths, et c'est assez confus.

Il y a deux niveaux de compréhension du théorème, tu sembles bloquer sur les deux mais mélange tes essais d'explication de l'un avec ceux de l'autre.

Les maths c'est un langage, avec son vocabulaire propre et sa grammaire. On peut se demander si une phrase est correctement écrite, c'est de la syntaxique et pour y répondre on doit rester dans le langage et sa grammaire, car elle est seule à fixer la notion de "correctement écrite" ; Ou bien on peut se demander si une phrase a un sens, c'est de la sémantique et pour y répondre on doit sortir du langage.

Le théorème de Gödel est syntaxiquement parfaitement logique : c'est un théorème de logique sur la logique qui utilise du vocabulaire et des règles bien définies au sein de la logique. Pour comprendre ce théorème au niveau syntaxique, il faut juste comprendre chaque chose suscitée.

Sémantiquement, c'est-à-dire ici, au niveau méta, on peut s'essayer à de l'analogie mais comme tu le dis bien, on arrive rapidement à un serpent qui se mord la queue, car au méta on tentera toujours d'apporter des éléments de l'intra (comme tu le fais) sauf qu'on ne mélange pas, encore une fois, méta et intra.

Cela étant, si analogie on doit faire, alors je ne trouve pas le 2ème théorème si absurde dans le domaine méta :

Quelqu'un qui affirme toujours dire la vérité peut effectivement être quelqu'un qui dit toujours la vérité, tout comme ce peut être un menteur.

Une théorie contradictoire peut toujours prouver qu'elle est contradictoire tout autant qu'elle est cohérente (car elle est contradictoire)

Ainsi, si une théorie prouve qu'elle est cohérente, soit elle est effectivement cohérente, soit elle est contradictoire et "ment"

Le 2ème théorème de Gödel énonce que ce ne peut être que la deuxième possibilité.

Finalement, une analogie de ce théorème avec les menteurs donne un truc assez pessimiste, puisqu'il énoncerait alors que quelqu'un qui serait capable d'affirmer toujours dire la vérité serait nécessairement un menteur.

Sinon, il y a bien une erreur de logique dans le lien wikipedia, l'existence de théories cohérentes capables de prouver leur incohérence n'est pas une conséquence logique du 2ème théorème, en tout cas pas une conséquence immédiate. Par contre, pour construire un exemple, et plus précisément pour prouver que l'exemple en est bien un, on a besoin du 2ème théorème.

Pour finir, mon message n'invite pas à se décourager de faire de la métaphysique avec les théorème d'incomplétude, Gödel en a lui même beaucoup fait et c'est passionnant à lire. Par contre, si tu veux le faire, il faut absolument retirer toute trace de maths pures (mais garder les métamaths) et aussi, poster sur le forum philo ...

Merci je comprends mieux