Bonjour, ça doit être niveau terminale mais je ne me souviens absolument pas comment on fait

Soient (X_n) une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre 2. On note S_n = somme(i=1, n) X_n.

Donner la probabilité P(S_400 >= 210) avec l'approximation suivante :

1/sqrt(2pi) integrale(-oo, 1)exp(-x^2/2)dx =~ 0.84

Je euh vois pas comment on utilise le TCL et tout

Le TCL te dit que
sqrt(n)(S_n/n - E(X_1))/sigma(X_1) converge en loi vers une N(0,1) lorsque n tend vers +oo. Ici E(X_1) = sigma(X_1) = 1/2.
Autrement dit, quand n est "grand", on a approximativement :
sqrt(n)(S_n/n - E(X_1))/sigma(X_1) ~ N(0,1)

Tu peux en déduire la fonction de répartition de S_n en fonction de celle de N(0,1).

Euh je.

Du coup

f(t) = 2/sqrt(2pi) exp(-(t-1/2)^2/(1/2)) ?

Je ne suis pas sûr du tout mais je pense qu'il faut juste faire le changement de variable (S_n - nµ)/(sqrt(n)*σ)

P (S_400 >= 210) = P ( [(S_400 - 400*1/2)/(sqrt(400) * 1/2)] >= [(210 - 400*1/2)/(sqrt(400) * 1/2)] )

= P (Z >= 1) = 1 - P (Z < 1)

où Z ~ N(0,1)

Avec l'approximation donnée :

P = 1 - 0,84 = 0,16

Le 28 avril 2017 à 20:31:44 atemutest a écrit :
Je ne suis pas sûr du tout mais je pense qu'il faut juste faire le changement de variable (S_n - nµ)/(sqrt(n)*σ)

P (S_400 >= 210) = P ( [(S_400 - 400*1/2)/(sqrt(400) * 1/2)] >= [(210 - 400*1/2)/(sqrt(400) * 1/2)] )

= P (Z >= 1) = 1 - P (Z < 1)

où Z ~ N(0,1)

Avec l'approximation donnée :

P = 1 - 0,84 = 0,16

ah putain d'accord, merci !