Salut tout le monde,
Je cherche à montrer qu'une suite convergente est bornée, à partir de la définition d'une suite convergente.

Or, dans la démarche, je ne comprends pas une étape qui est la suivante :

|un−L| ≤ 1 ⇒ L−1 ≤ Un ≤ L+1 ⇒ |un| ≤ max(|L−1|,|L+1|) où L est la limite

Je sais que max(x,-x) = |x|, mais le max ci-dessus, je ne vois ni ce qu'il signifie, ni à quoi il sert.

Merci d'avance.

ben du coup c'est quelle implication que tu comprends pas? y'en a 2

Si L est positif, -L - 1 < L -1
Si L est négatif, L + 1 < - L +1

Et avec ça t'as ton encadrement.

Le 27 février 2017 à 21:10:58 ItaruHashida a écrit :
Si L est positif, -L - 1 < L -1
Si L est négatif, L + 1 < - L +1

Et avec ça t'as ton encadrement.

Merci, mais comment tu as trouvé ces valeurs ? Je vois pas trop
Car si L positif, pour moi |L+1| = L+1

Et j'aurais une autre question au passage :

Dans la correction de l'exo 1, y'a :
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00010.pdf

Notons M = max_n=0,...,N−1{un}

Ca veut dire quoi, noté comme ça ? Ce n'est pas spécifié dans mon cours.
Désolé si j'ai l'air de ne rien comprendre, mais je suis paumé..

Le 27 février 2017 à 21:21:01 Bulma-Brief a écrit :

Le 27 février 2017 à 21:10:58 ItaruHashida a écrit :
Si L est positif, -L - 1 < L -1
Si L est négatif, L + 1 < - L +1

Et avec ça t'as ton encadrement.

Merci, mais comment tu as trouvé ces valeurs ? Je vois pas trop
Car si L positif, pour moi |L+1| = L+1

Et j'aurais une autre question au passage :

Dans la correction de l'exo 1, y'a :
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00010.pdf

Notons M = max_n=0,...,N−1{un}

Ca veut dire quoi, noté comme ça ? Ce n'est pas spécifié dans mon cours.
Désolé si j'ai l'air de ne rien comprendre, mais je suis paumé..

Oui mais si L est positif, -L-1 = - ( L +1) < Un < L+1 d'où l Un l < L+1 .
Si L négatif, L-1 < Un < L+1 < -L +1 = - (L-1) .

Et pour M, je suppose que c'est le max des u_k, pour k entre 0 et N-1.

La première implication je pense que tu la comprends, c'est pas définition de la valeur absolue.
Pour la deuxième implication, c'est le fait que si a <= x <= b, alors |x| <= max(|a|,|b|).
En effet, x <= b <= |b| <= max(|a|,|b|), et -x <= -a <= |a| <= max(|a|,|b|).
Donc max(x,-x) <= max(|a|,|b|), ie |x| <= max(|a|,|b|).
A quoi ça sert ? On veut montrer que u_n est bornée, donc on veut écrire un truc du genre |u_n| <= M.

A partir d'un certain rang N, on a |u_n - L| <= 1. Ceci implique, comme on vient de le voir, qu'à partir du rang N, |u_n| <= max(|L-1|,|L+1|). Cette quantité on peut l'appeler M1.
Maintenant il reste les u_n qui sont avant le rang N. Mais ils sont en nombre fini, donc tous inférieurs en valeur absolue à max(|u_0|, |u_1|, ..., |u_{N_1}|), quantité qu'on peut appeler M2.
Conclusion, pour tout entier naturel n, |u_n| <= max(M1,M2), donc u_n est bornée.

Merci beaucoup, si on m'avait dit tout ça plus tôt, j'aurais déjà mieux compris !

donc |x| = max(|a|,|b|) <=> a <= x <= b ?

Tu veux dire |x| <= max(|a|,|b|) <=> a <= x <= b ?

Dans ce cas non, la réciproque est fausse. On pourrait avoir a > b par exemple.

Le 27 février 2017 à 22:11:11 Prauron a écrit :
Tu veux dire |x| <= max(|a|,|b|) <=> a <= x <= b ?

Dans ce cas non, la réciproque est fausse. On pourrait avoir a > b par exemple.

Ah, c'est vrai. Alors peut-on dire :

|x| <= max(|a|,|b|) <=> a <= x <= b ou b <= x <= a ?

Non plus. Prends x = 0, et pour a et b des nombres strictement positifs.

Ah, je vois... merci à toi en tout cas pour tes réponses.

J'aurais une autre questions :

J'ai un exo de TD avec une suite Cn = (5n+1)/(4n-1)

Le but était de montrer qu'elle converge vers 5/4 en utilisant la définition de la suite convergente.

Dans la correction, on a fait ça :

(∀ ε>0 , ∃ n0 ∈ N ,∀ n>=n0 |Un-L| =< ε)

Pour ε>0 on a chercher n0 tq |cn-5/4| =< ε

A la fin on a trouvé un n0, mais je vois pas en quoi ça prouve qu'elle converge cers 5/4.

Up

Pour ε>0 on a chercher n0 tq |cn-5/4| =< ε

Tu veux dire "tel que pour tout n>=n0, |cn-5/4| =< ε " non ?

Non Prauron, dans ma correction on fait pour Epsilon > 0

Oui ok, t'as epsilon>0. Mais après tu trouves un n0 tel que pour tout n>=n0, |cn - 5/4| < epsilon.
Et comme epsilon est quelconque, ça montre que pour tout epsilon >0, il existe n0 (qui dépend de epsilon), tel que pour tout n>=n0, |cn - 5/4| < epsilon. Par définition de la limite, ça signifie que cn tend vers 5/4.

D'accord, je vois. Merci à toi Prauron !