1) pour montrer qu'une app est un isomorphisme en montrant qu'elle est linéaire + injective, faut il être en dim finie ?

2) u est une isométrie vectorielle ssi sa matrice est orthogonale. Pq il faut que la base soit orthonormee ?

3) L'ensemble est matrice prthogonal est borné car la somme des coefficients d'une colonne au carré est égal à 1 mais en quoi ça fait que l'ensemble est borné ?

4) la projection orthogonale sur F existe seulement si F minore et non vide, on est d'accord ?

5) une suite d'éléments est totale sur le SEV engendré par cette suite est dense dans E. Or mon cours dit "Si E est de dim finie alors F aussi donc fermé dans E ; donc la famille qui engendre F est totale ssi elle est génératrice"
Pourquoi F ferme dans E ? Et pq la conclusion ?

6) pq une isométrie vectorielle est tjrs bijective ?

Merci beaucoup !!

Ah j'en ai d'autres, désolé ...

7) pq Mk=M - (1/k)In est inversible au bout d'un certain rang ?

8) s est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan signifie que ker(s-id) est un hyperplan ?

1) oui
2) une matrice orthogonale transforme une base orthonormee en base orthonormee, c'est une matrice de passage entre deux bases orthonormees
3) intuitivement, si un espace est borné c'est que tu peux pas trouver des éléments de plus en plus grands pour cette norme. vu que la somme des coefficients au carré est plus petit que 1, tu comprends bien que les normes ne peuvent pas devenir trop grandes ! par exemple les normes 1 et oo sont des sommes de coefficients de la matrices en valeur absolue.
4) F admet une projection orthogonale si F admet un supplémentaire orthogonale (t'as du voir que ça marchait bien en dimension finie)
5) c'est quoi F ?
6) si f est une isométrie vectorielle, elle conserve la norme, tu peux donc facilement montrer qu'elle est injective et donc surjective (dim finie)
7)si M - a*In n'est pas inversible, a est une valeur propre de M, et comme tu as un nombre finis de valeurs propres, ta suite sera inversibles après avoir "dépassé" toutes les valeurs propres.
8)oui, on appelle ça une réflexion

Merci bcp !!
5) c'est vect(e1,...,en) où les ek sont une suite totale

un sev de dimension finie est toujours fermé. donc l'adhérence de F est F càd l'adhérence de vect(e1...en) est vect(e1...en)

Merci encore !
C'était tout, merci reellement !

Une petite question hein