Bonsoir,
Je n'arrive pas a comprendre une partie d'une preuve de mon cours.
(X,T) espace topologique.
On a l'équivalence : une partie A de X est connexe <=> l'existence de deux ouverts disjoints O1 et O2 tq $A \subset O1 \cup O2 \rightarrow A \subset O1 ou A \subset O2$
LA preuve :
L'existence de O1, O2 disjoints tq A inclus dans l'union de ceux ci reviens a dire que (A,T induite sur A) amet la partition d'ouverts $( A \cap O1, A \cap O2)$. (jusque la tout va bien c'est en dessous ou je ne comprends pas).
La partie A est connexe si et seulement si $A=A \cap O1 ou A \cap O1=\emptyset$.

T'as deux ouverts qui forment une partition d'un ensemble connexe, par définition l'ensemble est égal à l'un des ouverts

Le 05 décembre 2016 à 23:45:41 StrandedHorse a écrit :
T'as deux ouverts qui forment une partition d'un ensemble connexe, par définition l'ensemble est égal à l'un des ouverts

La definition de connexe c'est : (A,Tinduite sur A) connexe si A et vide sont les seuls ouverts et fermés. MAis je vois pas en quoi c'est la meme chose de dire ce que tu as dit.
Je viens de remarquer que le cours met aussi ca en relation avec les parties :
"Il revient au m^eme de dire que A n'admet pas de partition non triviale d'ouverts (ou de fermes)."

Si c'est bon merc ^^.

Y'a plein de définitions équivalentes, c'est juste du bidouillage :
- A n'est pas la réunion de deux ouverts disjoints non vides
- si A est la réunion de deux ouverts disjoints, l'un des deux est vide (ce qu'utilise ton exo)
- A n'est pas la réunion de deux fermés disjoints non vides
- les seuls ouverts-fermés de A sont A et le vide

Toutes ces équivalences se font juste en disant que le complémentaire d'un ouvert est un ferme et inversement