Bonsoir,
Je pense avoir compris ce qu'est la base des ouverts de la topologie produit et j'aimerais juste l'écrire a ma façon pour voir si c'est juste parce que je ne suis pas sure de comprendre les différentes notations qu'on la lui donne.
(X,T) T étant une certaine topologie.
(X^I,Tproduit) I ensemble fini ou infini.
base des ouverts de Tp = $\{ \prod_{i\in I}X_{i} \: / \: \: \: J \: \: \: fini \subset I \: \: \: \forall j \in J \: \: \: X_{i} \in O_{T} \: \: \: et \: \: \: \forall i \in I/J \: \: \: X_{i}=X \}$
Donc ici dans la base c'est J qui varie.
Pour le cas I infinie, il y a une infinité de X et pour les emplacements de J un ouvert de la topologie T. Et c'est bien dans n'importe quel ordre ?
Cad $w1 \times X \times w2 \times X [... infiniement]$ ou $w1 \times w2 \times X \times X [... infiniement]$ ou n'importe quel autre combination.

Je pensais avoir compris ce que c'etait mais je n'en suis plus sur maintenant.
Merci d'avance !

Dans ton cas, c'est particulier, l'ordre n'a pas d'importance parce que tu fais un produit de X avec lui-même.
Mais de façon générale, dans un produit cartésien l'ordre importe. Quand tu choisis un J ça te donne les emplacements qui contiendront des ouverts (tous les autres emplacements sont des X), et ensuite quand tu choisis les X_j pour chaque j dans J, ça te donne chaque ouvert que tu vas mettre dans chaque case.
Si au lieu de faire X^I tu te donnes une famille d'espaces topologiques (X_i), et que tu fais le produit Π_(i \in I) (X_i), là l'ordre a une importance.
Imagine N à la place de I si t'as du mal à visualiser.

Le 06 décembre 2016 à 00:14:42 AlphaCygni a écrit :
Dans ton cas, c'est particulier, l'ordre n'a pas d'importance parce que tu fais un produit de X avec lui-même.
Mais de façon générale, dans un produit cartésien l'ordre importe. Quand tu choisis un J ça te donne les emplacements qui contiendront des ouverts (tous les autres emplacements sont des X), et ensuite quand tu choisis les X_j pour chaque j dans J, ça te donne chaque ouvert que tu vas mettre dans chaque case.
Si au lieu de faire X^I tu te donnes une famille d'espaces topologiques (X_i), et que tu fais le produit Π_(i \in I) (X_i), là l'ordre a une importance.
Imagine N à la place de I si t'as du mal à visualiser.

Oui je vois.
Mais ici dans ce cas, ce que je voulais dire par dans n'importe quel ordre c'est que J peux etre n'importe quel partie de I ( si I c'est N, J peux etre {1,2,3} mais aussi {1,2,5000} etc ...) ?

Oui oui.

Ce qui me faisait un peu peur, c'est ton

"w1 \times X \times w2 \times ... ou w1 \times w2 \times X \times ..."

A priori si tu faisais des produits de trucs différents, la première composante serait un ouvert de X_1, la seconde composante un ouvert de X_2, etc. Là ton w_2 de retrouve à plusieurs positions différentes ce qui est un peu bizarre. Mais vu que toutes tes composantes sont X bien sur dans ton cas précis ça a du sens. J'aurais plutôt écrit "w1' \times X \times w_3' \times ...", et éventuellement tu peux avoir w1'=w1 et w3'=w2. Mais la troisième composante est indicée par 3... juste question de notations

Le 06 décembre 2016 à 01:34:39 AlphaCygni a écrit :
Oui oui.

Ce qui me faisait un peu peur, c'est ton

"w1 \times X \times w2 \times ... ou w1 \times w2 \times X \times ..."

A priori si tu faisais des produits de trucs différents, la première composante serait un ouvert de X_1, la seconde composante un ouvert de X_2, etc. Là ton w_2 de retrouve à plusieurs positions différentes ce qui est un peu bizarre. Mais vu que toutes tes composantes sont X bien sur dans ton cas précis ça a du sens. J'aurais plutôt écrit "w1' \times X \times w_3' \times ...", et éventuellement tu peux avoir w1'=w1 et w3'=w2. Mais la troisième composante est indicée par 3... juste question de notations

Oui j'ai juste appelé w2 pour montrer que c'etait des ouverts qui pouvait etre different ou les memes du moments qu'ils appartiennet a X.
Mais oui tout change si le produit est d'espaces topologiques differents.
Merci des precisions !

Et je viens de voir que tu l'as pas précisé dans ton deuxième message même si c'était le cas dans tes exemples, J est *fini*