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Sujet : Saurez vous trouver l'erreur ?

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MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:12:55

Une erreur se cache dans les lignes qui suivent. Saurez vous la trouver ?

  • Lemme 1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a: $$ \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = 0. $$
  • Lemma 2.Pout tout $x\in(0,1)$ on a : $$ \frac{1}{1-x}=\sum_{n\geq 0}x^n,\qquad \frac{\log x}{(1-x)^2}=\sum_{n\geq 0}(n+1) x^n\log(x). $$

Par les deux lemmes on a:

$$\begin{eqnarray*}(\text{Lemme 1})\quad\;\;\color{red}{0}&=&\int_0^1 \sum_{n\geq0} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx\\[0.2cm](\text{Lemme 2})\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{1-x} + \frac{\log x}{(1-x)^2}\right)\,dx\\[0.2cm](x\mapsto 1-x)\qquad&=&\int_0^1 \left(\frac{1}{x}+\frac{\log(1-x)}{x^2}\right)\,dx\\[0.2cm](\text{développement en série entière de }x+\log(1-x))\qquad&=&-\int_0^1 \frac{1}{x^2} \sum_{k\geq2}\frac{x^k}k \,dx\\[0.2cm](\text{intégration terme-à-terme})\qquad&=&-\sum_{k\geq 2} \frac{1}{k(k-1)}\\[0.2cm](\text{télescopage})\qquad&=&-\sum_{m\geq 1} \left(\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)=\color{red}{-1}.
\end{eqnarray*}$$

Doarry Doarry
MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:23:27

C'est coupé, on voit pas les équations en entiers :nah:

spf1 spf1
MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:24:22

Je n'ai pas ce problème, mais voici un screen

https://www.noelshack.com/2016-34-1472052240-screen-shot-2016-08-24-at-17-23-48.png

Benbe98 Benbe98
MP
Niveau 6
24 août 2016 à 17:24:44

"Lemma 2" :d) "Lemme 2" :ok:

Trop simple t'en as d'autre ? :-)))

Doarry Doarry
MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:29:59

Le 24 août 2016 à 17:24:22 Spf1 a écrit :
Je n'ai pas ce problème, mais voici un screen

https://www.noelshack.com/2016-34-1472052240-screen-shot-2016-08-24-at-17-23-48.png

Merci.
Bon apparemment j'ai pas le niveau. Mais c'est normal d'intégrer une somme infini terme à terme ? :hap:

MecaQ MecaQ
MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:33:55

log c'est décimal ou népérien? (y'a parfois abus donc bon...)
(même si je suis pas sûr que ça change qqch en vrai vu que c'est à un facteur près)

HypoBowling HypoBowling
MP
Niveau 27
24 août 2016 à 17:34:16

Le 24 août 2016 à 17:24:44 Benbe98 a écrit :
"Lemma 2" :d) "Lemme 2" :ok:

Trop simple t'en as d'autre ? :-)))

https://image.noelshack.com/fichiers/2016/26/1467335935-jesus1.png

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MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:35:49

Le 24 août 2016 à 17:33:55 MecaQ a écrit :
log c'est décimal ou népérien? (y'a parfois abus donc bon...)
(même si je suis pas sûr que ça change qqch en vrai vu que c'est à un facteur près)

log népérien si ça peut t'aider

Doarry Doarry
MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:48:06

J'ai essayé de comprendre pourquoi tu intervertissais la somme et l'intégrale, d'après ce que j'ai lu il faut que la série soit convergente uniformément sur [0,1], ce qui n'est pas le cas de la série géométrique. Sauf qu'après avec les bidouillages que tu fais je sais pas où regarder :hap:
Mais j'ai quand même l'impression que l'arnaque vient des manipulations avec l'infini...

Hachino Hachino
MP
Niveau 20
24 août 2016 à 17:53:32

L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). :hap: Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur. :hap:

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MP
Niveau 10
24 août 2016 à 17:59:28

Le 24 août 2016 à 17:53:32 Hachino a écrit :
L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). :hap: Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur. :hap:

$$0 = \sum_{n} 0 =\sum_n \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = \int_{0}^{1} \sum_n x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx $$

L'interversion est justifiée par, euh ... https://image.noelshack.com/fichiers/2016/24/1466366261-risitas51.png

skywear skywear
MP
Niveau 38
24 août 2016 à 18:01:59

Le 24 août 2016 à 17:59:28 Spf1 a écrit :

Le 24 août 2016 à 17:53:32 Hachino a écrit :
L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). :hap: Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur. :hap:

$$0 = \sum_{n} 0 =\sum_n \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = \int_{0}^{1} \sum_n x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx $$

L'interversion est justifiée par, euh ... https://image.noelshack.com/fichiers/2016/24/1466366261-risitas51.png

la chancla ? https://image.noelshack.com/fichiers/2016/24/1466366261-risitas51.png

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MP
Niveau 10
24 août 2016 à 18:03:29

Le 24 août 2016 à 18:01:59 skywear a écrit :

Le 24 août 2016 à 17:59:28 Spf1 a écrit :

Le 24 août 2016 à 17:53:32 Hachino a écrit :
L'intégration terme à terme de l'avant-dernière ligne est justifiée, ne serait-ce que parce que tous les termes sont positifs. En revanche, là où ça pue l'arnaque, c'est à la toute première ligne, où môssieur se permet de rentrer la somme sous l'intégrale en arnaquant comme un sale avec son (Lemme 1). :hap: Et vu comme les termes intégrés changent de signe sur $[0,1]$ (surtout la parenthèse avec le $\ln$), m'est avis qu'aucun théorème d'interversion ne va s'appliquer.

Tl:dr : vil tricheur. :hap:

$$0 = \sum_{n} 0 =\sum_n \int_{0}^{1} x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx = \int_{0}^{1} \sum_n x^n\left(1+(n+1)\log x\right)\,dx $$

L'interversion est justifiée par, euh ... https://image.noelshack.com/fichiers/2016/24/1466366261-risitas51.png

la chancla ? https://image.noelshack.com/fichiers/2016/24/1466366261-risitas51.png

oui, le théorème de la Chancla https://image.noelshack.com/fichiers/2016/24/1466366203-risitas21.png

A part la première, toutes les autres égalités sont justes, facile d'arnaquer, non ? https://image.noelshack.com/fichiers/2016/30/1469402389-smiley16.png

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