Bonsoir,

det{{x,y,z,t},{-y,x,-t,z},{-z,t,x,-y},{-t,-z,y,x}}=(t²+x²+y²+z²)²

x , y , z , t
-y , x, -t , z
-z , t , x,-y
-t, -z , y , x

J'ai essayé de faire le calcul mais je ne vois pas de moyen intelligent pour parvenir au résultat, bien sur on peut faire les 4!=24 calculs et sortir d'un chapeau la factorisation qui rend bien mais je ne pense pas que ce soit le but de l'exo. Quelqu'un à une méthode à proposer ? Un raisonnement à suivre ?

A peu de chose près on a le déterminant d'une matrice antisymétrique paire, peut-être qu'il faut creuser par là ?

tu peux calculer le déterminant de ta matrice par sa transposée

tiens si tu veux j'avais eu le même exo : https://www.jeuxvideo.com/forums/42-35-47000907-1-0-1-0-comment-montrer-que-le-determinant-de-cette-matrice-est-positif-ou-nul.htm

l'argument de continuité est important

ton déterminant est un polynôme $P(X,Y,Z,T)$ qui a le bon goût d'être homogène de degré $4$. Donc $P$ est une somme de monômes de degré 4.

Après, on peut peut-être faire mieux en poursuivant sur cette voie

On peut poursuivre en remarquant (ce qui est non trivial) que le polynome ne change pas quand on remplace une variable par son opposé (x en -x par exemple). Donc tous les exposants de chaque variable dans chaque monôme sont pairs. Comme les monomes sont tous de degré 4, ils sont de la forme $X^4$ ou $X^2Y^2$

Ensuite, on remarque que le déterminant ne change quand on permute les 4 variables (non trivial encore), donc $P(X,Y,Z,T) = \lambda (X^4+Y^4+Z^4+T^4) + \delta (X^2Y^2+X^2Z^2 + X^2T^2+Y^2Z^2 + Y^2T^2 + Z^2T^2)$

On trouve $\lambda$ et $\delta$ en choisissant $x,y,z,t$ dans $\{0,1\}$ et en calculant le déterminant correspondant

voilà ce que répondrait un algébriste

J'ai demandé à des gens plus compétents que moi , tu peux relier la matrice à la théorie des quaternions, ou bien remarquer que ta matrice est UNE MATRICE PAR BLOCS où les blocs sont des matrices correspondant à des nombres complexes (elles commutent en particulier) donc tu peux utiliser les théorèmes sur les matrices blocs et aboutir facilement au résultat