Comment on prouve ça svp ?

PS: je suis persuadé qu'il n'est pas séparable, ça se saurait sinon
PS2: sur un segment, c'est séparable avec les polynômes à coefficients rationnels

Indice : le groupe des translations agit sur cet espace de manière non triviale et n'est pas dénombrable.

Une démo élémentaire : soit {f_n} une famille dénombrable de fonctions continues. Tu définis f par f(n)= f_n(n)+1 puis tu relies tous ces points par des segments. Tu fais ce que tu veux sur R- tant que ça reste continu. f est à une distance d'au moins 1 de tous tes f_n, donc pas de possibilité de séparabilité.

Ça a un sens de parler de norme infinie sur l'espace des fonctions continues sur R ?

Si tu supposes implicitement qu'elles sont bornées, oui.

Le 27 juillet 2016 à 13:51:37 Hachino a écrit :
Si tu supposes implicitement qu'elles sont bornées, oui.

Effectivement, vu comme ça...

Ah oui j'ai effectivement dit n'imp, my bad

Le 27 juillet 2016 à 14:00:49 Morphisme a écrit :
Ah oui j'ai effectivement dit n'imp, my bad

Pas si on part effectivement du principe que les fonctions sont bornées

Bah f ainsi définie n'a pas de raison d'être bornée si les f_n(n) ne le sont pas

Mais si tu choisis les f_n uniformément bornées (en te restreignant à la séparabilité de la bouboule unité) et que tu ajustes un peu ton choix de nouvelle valeur (un réel dans [-1,1] à distance 1 de f_n(n), ça te fait un seul choix la plupart du temps à part quand f_n(n) = 0, auquel cas on s'en branle Marcel), ça va déjà mieux.

Le 27 juillet 2016 à 14:16:38 Morphisme a écrit :
Bah f ainsi définie n'a pas de raison d'être bornée si les f_n(n) ne le sont pas

Effectivement, je suis con

Ah oui modulo cette astuce ça marche. Je suis devenu une brêle

J'aime bien me promener sur ce genre de topics, me rendre compte que je ne sais en fait rien des maths