Bonjour tout le monde !

Voilà j'ai un exercice que je n"arrive pas à résoudre. C'est un poils complexe , si vous avez des idées je suis preneur !

Montrez à l'aide d'un raisonnement par l'absurde que l'ensemble B
des développements binaires n'est pas dénombrable (utilisez un argument diagonal).

-> Pour cet exercice, je pense que c'est faisable en utilisant la diagonale de Cantor.

Montrez que ]-1;1[ est équipotent à IR (Utilisez la fonction ( x I--> x/(1 - x²)) En déduire que IR n'est pas dénombrable.

-> Peut être une petite idée, j'imagine que l'on peut dire que tous les nombre des l'ensemble ]-1;1[
peuvent être définis par un développement binaire qui ne défini pas un ensemble dénombrable. Mais pourquoi utiliser la fonction demandée ?

Montrez que IB (l'ensemble des développement binaire illimité ) est équipotent à P(IN) en utilisant la fonction (bi) i € IN I--> {i € IN, bi = 1} En déduire que IR est équipotent à P(IN)

-> Pas d'idée pour celui - ci

x/(1-x^2) est une bijection de ]-1,1[ sur R

Comme dit mon VDD, la fonction demandée sert à montrer que ]-1,1[ et R sont en bijection. Donc si R est dénombrable, ]-1,1[, ce qui est faux. Et pour montrer que ]-1,1[ n'est pas dénombrable, il faut effectivement utiliser le fait que l'ensemble des développements binaires n'est pas dénombrable. En fonction de la définition que tu as des développements binaires, il faut éventuellement faire attention à une petite subtilité qui est qu'un nombre peut avoir deux développements. Par exemple le nombre 1/2 s'écrit en binaire 0,1 ou 0,01111... (avec une infinité de 1).

Pour montrer que l'ensemble des développements binaires illimités est équipotent à P(N) tu fais le raisonnement suivant :
Un développement binaire de la forme 0,b0b1b2... c'est une suite infinie de 0 et de 1. L'idée c'est de construire une partie de N en regardant où se trouvent les 1. Plus précisément dans ta partie de N, tu mets l'entier i si et seulement si bi = 1.
Par exemple si ton développement binaire c'est b= 0,01100011011111..., tu vas associer à b la partie de N notée B, définie par B = {1,2,6,7,9,10,11,12,13...} (tu regardes les positions où il y a un 1 dans ton développement binaire).
En procédant ainsi, à chaque élement de IB tu associes une unique partie de N, et réciproquement. Si tu prends une partie de N, tu peux lui associer un unique élément de IB. On formalise ça en écrivant une bijection entre IB et P(N). Ainsi P(N) est équipotent à IB, qui est équipotent à ]-1,1[, qui est équipotent à R.

Ok super je te remercie !

Faut - il que pour cette question :
Montrez que ]-1;1[ est équipotent à IR (Utilisez la fonction ( x I--> x/(1 - x²)) En déduire que IR n'est pas dénombrable.

Que je fasse la preuve en démontrant l'injectivité puis la surjectivité en utilisant la fonction ( x I--> x/(1 - x²)) ? Si oui je ne sais pas comment faire une telle preuve , pourrais - tu m'expliquer ?

Idem du coups pour IB équipotent à P(IN) ?

Encore merci !