Reformulé d'une olympiade roumaine :

Choisissez un point du plan et supprimez tous les autres qui ne sont pas à une distance rationnelle de celui-ci. Réitérez autant de fois que souhaité le processus avec les points restant.

Combien vous faut-il d'étape pour supprimer tout le plan?

Oui, supprimer tout le plan SAUF 1 du coup.

ça parlait d'onde j'ai cru que c'était de la physique, mais non forcément c'est encore des matheux
partez svp

C'est pas toi qu'est à Cachan ? Tu devrais torcher ça hop hop hop

je vois pas le rapport j'étudie la physique

En plus il a fait PSI

en plus oui

Ben faut quand même être bon en maths non

Il ne va pas rester 2 points minimum même non ?

Soit P_n=(x_n,y_n) la suite des points choisis, obligatoirement la distance entre P_n et P_n+1 est rationnelle. On peut supposer sans problème que les P_n sont tous distincts, puisque prendre deux fois le même point ne change rien, sauf que ça augmente le nombre d'itérations pour rien. Si on arrive à supprimer tout le plan (sauf P_N+1) à l'itération N+1, en particulier on a supprimé le point P_N, mais alors cela signifierai que la distance entre P_N et P_N+1 n'est pas rationnelle, ce qui est absurde.

Par contre pour résoudre le problème là je sèche.

En fait c'est même pire que ça non ?

Soit P_n=(x_n,y_n) la suite des points choisis, obligatoirement la distance entre P_n et P_m est rationnelle pour tout n et pour tout m. Si une distance n'est pas rationnelle, on suppose n>m (sans perte de généralité), alors le point P_n ne peut être choisi puisqu'il aura été supprimé à l'étape m. Ainsi, à l'itération N il restera minimum N points. (si encore une fois on suppose les points P_n distincts deux à deux)

Je pense que le but est de n'avoir plus que deux points en effet oui.

Après deux coups on a déjà plus qu'une infinité dénombrable de points, puisque on a une union sur QxQ d'intersections de cercles disjoints donc avec maximum 2 points d'intersection chacuns.

Après par théorème d'intérêt des problèmes d'olympiades j'aurais plutôt tendance a essayer de prouver que ça se fait en un nombre fini d'étapes mais je trouve pas le bon bout.

Ça rappelle quand même un peu le coup de l'ensemble de points du plans à distance entières deux a deux, qui sont soit alignés soit en nombre fini. Mais là le même argument ne marche pas du moins pas directement

puisque on a une union sur QxQ

ça je suis pas d'accord. Si j'ai bien compris.
(sqrt(2),sqrt(2)) a des coordonnées irrationnelles mais est à distance rationnelle de 0. Donc c'est plus subtil que QxQ.

J'aurais du être plus clair d'où je sortais mon QxQ :

On choisit le premier point X, il nous reste tous les points à distance rationnelle de X, donc l'union sur r ∈ Q du cercle de centre X et de rayon r. Par exemple si X = (0,0), le point (sqrt(2),sqrt(2)) est sur le cercle de rayon 2.
Pour l'instant on est encore indénombrable, chacun des cercles ayant un nombre indénombrable de points.

Mais à l'étape suivante, on choisit un point Y, et là on garde tous les points qui sont sur les cercles de centre Y et de rayon rationnel, mais aussi sur les cercles de centre X et de rayon rationnel.
Autrement dit :
(U_{r ∈ Q} Cercle(X,r)) ∩ (U_{r' ∈ Q} Cercle(Y,r'))

En distribuant, ça fait une union sur QxQ d'intersections de cercles de centres X et Y, donc un ensemble dénombrable. On a donc déjà tué pas mal de monde, mais ça répond pas encore à la question.

D'ailleurs t'as raison, à la fin il va nous rester tous les points qu'on a sélectionnés, pas qu'un ou deux.
Ou alors on a le droit de réitérer le processus même sur les points qui ont déjà été supprimés, et donc le but est vraiment d'éliminer tous les points du plan ?

D'accord j'ai compris ce que as voulu dire.
Pour ma part je commence à avoir des doutes sur le fait que ce soit faisable (c'est à dire, vu ce que l'on a dit, qu'il ne reste à la fin qu'un nombre fini de points).

Salut tout le monde,

j'étais quand même bien embêté avec la remarque de Bluepoint parce qu'ayant résolu l'exercice (avec une preuve qui ressemble aux idées de JeanCroutenard) j'étais bien arrivé à 0, et la correction même de l'exercice (qui est bourrine et très moche...) arrive à 0 aussi.

J'ai fini par comprendre le problème : L'épicentre qu'on choisit à chaque étape n'est pas forcément un point restant, il peut avoir déjà été supprimé

avec cette correction, vous devriez pouvoir aller au bout. Désolé du désagrément, faute à moi d'essayer d'embellir un énoncé à travers une histoire bidon.

J'ai pas eu l'occasion de beaucoup chercher mais la preuve m'intéresse.

Vous avez déjà fait le gros du boulot :

Après deux coup il ne reste qu'une infinité dénombrable de point. Il n'est pas difficile de prouver par arguments de cardinalité qu'il existe un point à distance irrationnelle de tous ceux là, et donc qu'un coup ici détruit tout le monde (donc 3 coups suffisent).

La preuve du bouquin est plus algébrique :
Les trois points (0,0) ; (1,0) et (sqrt(2),0) fonctionne. Il suffit de prouver que tout point du plan est à distance irrationnelle d'au moins un de ces points. En effet, soit (x,y) un point quelconque du plan, alors sa distance à chacun des trois points de départ vaut respectivement :
- sqrt(x²+y²)
- sqrt((x-1)²+y²)
- sqrt((x-sqrt(2))²+y²))

Si x²+y² et (x-1)²+y² sont rationnels alors x et y aussi (facile) et donc (x-sqrt(2))²+y² est irrationnel. Donc parmi les trois distances précédentes, il y en a toujours une dont le carré est irrationnel, donc toujours une irrationnelle. CQFD

Mais le point sqrt(2);0 est à distance irrationnelle de (0;0)
Ou alors j'ai mal compris l'énoncé