Salut à tous,

Une question qui je pense n'est pas vraiment compliquée, mais un peu d'aide serait bienvenue :
Si on a une fonction f : E ---> E, linéaire avec E un Banach.

Montrer que si f est compacte alors f est continue.
(Avec pour définition de f compacte : pour toute partie bornée B de E, adhérence de f(B) est compacte)

J'ai essayé de passer par la caractérisation séquentielle de la continuité, qui m'a pas donné grand chose

Soit S la sphere unité !
Alors l'adhérence de f(S) est compacte donc bornée donc en particulier f(S) est bornée

Il existe donc M tel que pour tout x € S, ||f(x)|| <= M

En effet, c'était tout bête, merci pour l'aide