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Sujet : Montrer que (Z[beta],+,x) est un anneau

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skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:12:35

Rebonjour :hap:
J'ai pas mal de questions aujourd'hui
Donc je dois démontrer ça :
https://image.noelshack.com/fichiers/2015/48/1448805806-2015-11-29-15-03-04.jpg
Mais j'ai pas d'info sur ce qu'est beta :( j'ai supposé que c'était un nombre complexe mais j'en suis pas sûr

Dans mon cours on a démontré ça pour (Z[i],+,x) en montrant que c'est un sous-anneau de (C,+,x) (Z[i]={a+ib/(a,b) sont dans Z^2}
Donc j'ai procédé de la même manière en supposant que Z[beta]={a+b*beta/(a,b) sont dans Z^2}

Mais je bloque pour la dernière étape de la démonstration

Je veux montrer que (Z[beta],x) est stable par x :

Donc je prends z et w dans Z[beta],
Il existe a et b dans Z, z=a+b*beta
Il existe c et d dans Z, w=c+d*beta
Donc zw = ac + beta(ad+bc)+beta^2 * bd

Le truc c'est que je vois pas comment simplifier le beta au carré
Je pose beta = x+iy ? En faisant le calcul ça semble pas marcher

Du coup jsuis bloqué... :merci:

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:15:24

Justement je sais pas trop ce que c'est :(
Le seul exemple qu'on a vu c'est Z[i] donc jsuppose que ça doit etre du meme genre

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:20:05

Je sais pas franchement, c'est juste ça mon énoncé

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:28:45

Ah oui en effet
Donc ça serait autre chose du coup

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:34:04

Ce serait quoi l'anneau des polynomes exactement stp

Fin soit c'est une faute de frappe de mon prof soit c'est ce que tu as dis, parce que j'ai aucune info sur beta

Hachino Hachino
MP
Niveau 20
29 novembre 2015 à 15:43:24

Vu le contexte, àmha la seule possibilité pour beta est d'être algébrique de degré 2 sur R (aka racine d'un polynôme de degré 2 à coeffs réels). C'est nécessaire et suffisant pour s'assurer d'avoir (a+b*beta)^2 = a' + b'*beta, vu que les beta² disparaissent.

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:43:34

Ouais bizarre

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:46:05

Hachino je comprends pas comment tu peux virer le beta^2 dans ce cas

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 15:51:48

Bah c'est des questions de "cours" prétendument, que je peux me taper en colle demain :hap:
Jpeux pas en zapper une

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 16:00:56

Ok merci
Mais je comprends toujours pas pourquoi ça marche dans le cas Hachino malgré ta 2nde explication

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 16:19:49

Hmm ok
Z[beta] ce serait l'ensemble des a+b*beta avec a et b dans Z avec beta tel qu'il existe c et d réels teld que beta^2=c+beta*d ??

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 16:20:00

c et d entiers*

Prauron Prauron
MP
Niveau 11
29 novembre 2015 à 17:27:36

Oui c'est ça. Mais il y a bien un contexte non ? C'est pas juste ça ton exo ?

Amandin Amandin
MP
Niveau 10
29 novembre 2015 à 18:19:55

Comment as-tu défini A[x] dans le cas où A est un anneau et x un élément d'un sur-ensemble de A?

Si tu ne l'as pas définit, ça me semble impossible de réponse à la question...

Normalement on définit A[x] comme le plus petit anneau contenant A et x, ce qui rend la question triviale... Des fois on voit définir "de manière équivalente" A[x] comme l'ensemble des P(x) où P décrit A[X], à ce moment là on peut effectivement prouver que ça définit un anneau, mais naturellement c'est plutôt fait dans l'autre sens (On montre que A[x], définit comme le plus petit anneau contenant A et x, peut effectivement s'écrire comme l'ensemble des images de x par les polynômes à coefs dans A)

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 19:37:02

Je suis pas sûr de tout saisir dans ton post Amandin , mais il me semble qu'on a défini A[x] comme l'ensemble des a+xb tels que a et b sont dans A
(Fin c'est pas clair dans mon cours, on a simplement vu des exemples sans formulation générale : Z[sqrt(2)] et Z[i], qui correspondent bien à ma description)

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 19:56:36

Prauron : si c'est vraiment juste ça, il y a simplement cette question sans contexte du tout

Prauron Prauron
MP
Niveau 11
29 novembre 2015 à 20:21:35

Si c'est des questions de cours que tu peux avoir en colle, on te spécifiera certainement un beta particulier. Ou bien on te donnera une condition sur beta, comme celle donnée par Hachino. De toute façon on te dira pas "montrer que Z[beta] est un anneau", sans aucune précision sur beta ou sur la définition de Z[beta].
L'important c'est que tu saches comment montrer que c'est un sous-anneau (de R ou de C), en partant de la définition (qui est certainement, dans ton cas, {a*beta+b, a,b entiers}).

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 21:01:17

Ben j'aurai la qu. de colle telle quelle, mais je m'arrangerai avec le colleur je pense

skywear skywear
MP
Niveau 38
29 novembre 2015 à 21:02:38

Et merci pour la confirmation, on procède toujours comme ça pour montrer que qqch est un anneau ?
(Y'a pas de moyen de le faire si on connaît pas d'anneau dans lequel le sous-anneau est inclus ?)

Prauron Prauron
MP
Niveau 11
29 novembre 2015 à 23:42:14

Parfois on est obligé de revenir à la définition d'un anneau et montrer toutes les propriétés une par une. Mais très souvent, pour montrer que A est un anneau, on se contente de montrer que A est un sous-anneau de B, où B est un anneau connu (Z, Q, R, C, polynômes, matrices carrées, endomorphismes... etc).

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