Sujet : Exercice sur les groupes
Amandin
Dans la même veine que :
https://www.jeuxvideo.com/forums/42-35-42005600-1-0-1-0-exercices-sur-les-groupes.htm
Soit G un groupe dans lequel tout couple (x,y) d'éléments vérifie : x² y² = y² x² et x^3 y^3 = y^3 x^3
Montrez que xy = yx pour tout (x,y)
Vistiche
ok j'ai rien dit je vais relire le cours avant
EDIT: viens pas brûler ma maison stp
Vistiche
Ah et je crois que je viens de comprendre 
si je veux éliminer les x²y² et y²x² faut que je passe par l'élément symétrique (qui existe car on est dans un groupe) mais après je suis obligé d'utiliser la commutativité or on sait pas si le groupe est commutatif, c'est ça?
De toute façon je me doutais que c'était faux, Amandin ne pose pas des problèmes "simples"
Vistiche
Oui je sais mais genre l'élément symétrique c'est genre xx^-1=e
donc dans mon cas on aurait (x²y²)^-1=(y²x²)^-1
Du coup ce que j'ai fait implicitement c'est:
((x²y²)^-1)xx²y²y=(y²x²)^-1)yy²x²x
et donc xey=yex
xy=yx
mais c'est stupide car j'utilise la commutativité pour rassembler les éléments et leurs symétriques
Vistiche
Bah si au milieu d'une expression j'ai x(x^-1) ça donne e.
Pas de précisions donc je vais supposer que c'est valable dans tout groupe.
+
j'ai fait trois tentatives, à chaque fois ça a foiré, flemme d'en faire une quatrième. Je retire ce que j'ai dit sur l'autre topic, ce type d'exo est vraiment naze
Vistiche
Moi je trouve ça marrant comme exo car t'as envie de faire des trucs que t'as pas le droit.
Amandin
Ca fonctionne pour tout groupe, fini ou infini, et se généralise en remplaçant 2 et 3 par n'importe quels entiers premiers entre eux.
Amandin
Oui avec l'hypothèse fini c'est relativement simple. Pour le cas infini faut chercher un peu...
Amandin
Je ne sais pas si un gros théorème permet de régler la chose, perso j'y suis allé à la main en travaillant sur le centre de G et son groupe dérivé.
Amandin
Mon plan de démo sans rentrer dans les détails :
On note I et J les sous-groupes engendrés respectivement par les carrés et les cubes de G.
1) Tout élément de G peut s'écrire comme un produit d'une puissance d'un élément de I et d'une puissance d'un élément de J :
x = (x²)²×(x^3)^(-1)
(cet argument est vrai en remplaçant 2 et 3 par tout couple d'entiers copremiers grâce au théorème de Bezout)
Il suffit donc de montrer que les éléments de I commutent avec les éléments de J
2) Soit x dans I et y dans J, on pose z le commutateur de x et y : z = xyx^(-1)y^(-1). Montrer que x et y commutent équivaut à montrer que z = 1
3) On prouve que z commute avec tout le monde (c'est le point délicat) :
On montre facilement que les groupes quotients G/I et G/J sont commutatifs. On montre facilement que I et J sont distingués On déduit de a) et b) et par un théorème classique (qui se retrouve facilement) que I et J contiennent tous les commutateurs. comme z est inclus dans I inter J donc commute avec tout élément de I et de J donc commute avec tout le monde puisque IUJ engendre G.
4) Partant de la relation zy = xyx^(-1), élevée au carré : (zy)² = xy²x^(-1) z et y commutent entre eux (car z commute avec tout le monde) donc (zy)² = z²y² y² commute avec tout le monde car y est donc J donc y² aussi mais par définition y² est dans I donc y² est dans I inter J donc commute avec tout le monde. On peut donc simplifier par y² la relation z²y² = xy²x^(-1) et on obtient que z² = 1 Par un raisonnement identique en élevant cette fois-ci au cube on prouve que z^3 = 1 donc z = (z²)²×(z^3)^(-1) = 1. CQFD
Je suppose qu'il doit y avoir des théorèmes généraux qui permettent de se passer des étapes de calcul à la main mais je ne suis pas assez calé en théorie des groupes pour en trouver.
DancingL
Franchement mettez le niveau requis à peu près pour faire les exos, parce que l'énoncé paraît simple mais la démo 
J'ai testé 2 minutes et heureusement que je suis pas resté plus longtemps comme nicomezi.
Sinon jolie 
Amandin
Je ne sais pas trop ce que tu appelles "niveau" vis-à-vis de ce genre de question. Si c'est juste en terme de connaissances requises, c'est de niveau sup (en remplaçant certains mots de vocabulaire par leurs définitions symboliques) parce qu'au final la partie 3) s'écrit bien à la main même si c'est un peu long.
Après, cette technique qui consiste à passer par le groupe dérivé (= sous-groupe engendré par les commutateurs) ça je ne l'ai apprise qu'après la prépa (et ça devient même une méthode classique) mais je ne pense pas que j'aurais pu la deviner seul avant...
Ca ne serait pas drôle si je vous racontais tout ça dans mon premier post... 