Je n'ai absolument aucune idée du procédé donc si quelqu'un peut m'aider s'il vous plait...

Soit n ∈ N − {0; 1; 2}. On se donne n points dans le plan. Existe-t-il un polygone dont ces n points soient les milieux des cotés ?

Salut,

première approche :

On part d'un point M quelconque du plan, on construit son symétrique par rapport à B1, puis le symétrique du point obtenu par rapport à B2, etc.
Alors à chaque fois les Bi sont les milieux des segments obtenus. Le problème est qu'à la dernière symétrie, il faut retomber sur M pour "refermer le polygone" ce qui n'est pas assuré par une construction aléatoire de M.

Il s'agit donc de trouver un point M pour lequel la suite des symétries de centre Bi permet de retomber dessus. C'est tout ce que j'ai pour le moment, à développer.

Oups c'est tout con en fait :

La suite des symétries, c'est une autre symétrie (car composée de symétrie = symétrie) Donc son centre (= un point qui est stable = le point qu'on cherche) est le milieu entre n'importe quel point et son symétrique.

Conclusion :

Partant d'un point M quelconque, on construit sa suite de symétriques par les symétries de centre Bi avec i variant de 1 à n, on obtient un point M'. Alors le milieu I du segment [MM'] est stable par la suite de symétrie précédente, on le pose comme premier sommet du polygone recherché, et on construit les autres par symétries de centre Bi avec 1 <= i <= n. On obtient un polygone dont les milieux des côtés sont les Bi par construction.

On peut le voir algébriquement :

Partant de points d'affixes zi, alors l'application f qui aux zi associent les mi où mi est le milieu de zi ( = [zi + z(i+1)]/2). On voit facilement que c'est un endomorphisme et que son noyau est réduit à 0. C'est donc une application bijective et tout n-uplet à l'arrivée admet un unique antécédent.

Merci Amandin, tu gères

Attention, gros point noir : mon truc ne fonctionne que pour un nombre impair de points en fait. Ça tombe bien ça te laisse faire le cas pair qui est identique faut juste changer quelques trucs dans la preuve.

Heureusement que tu m'as prévenu Mais j'ai aucune idée pour procéder...

T'es sur que ton raisonnement est possible en MPSi en fait ?

le raisonnement géométrique est faisable en terminale. Le raisonnement algébrique demande d'avoir fait un peu d'algèbre linéaire ce qui ne doit pas être ton cas si tu n'es qu'au début de ta sup'.