Salut !
Je veux prouver qu'une suite converge, en utilisant le lien entre les séries et les suites.

Je tombe sur Un+1 - Un = 1 - (n+0.5)*ln(1+ 1/n)

C'est là que j'ai un problème, la correction dit que Un+1 - Un est dominé par 1/n² donc la série (Un+1- Un) converge.
Si on fait un développement limité à l'ordre 2 on trouve Un+1 - Un = 1/4n² donc c'est cohérent. Seulement pourquoi faire un DL à l'odre 2 ? j'ai essayé d'en faire un à l'ordre 1 et je trouve Un+1 - Un = -1/2n et c'est là que ça coince parce que la série (-1/2n) diverge.
C'est étrange de trouver une série qui diverge ou converge en fonction de l'ordre du DL non ?

En fait ton DL à l'ordre 1 ne te permet pas de conclure car le produit n*o(1/n) va te donner du o(1), et tu ne sais pas quel est l'ordre de grandeur de cette quantité.
Ce o(1) va compenser ton -1/(2n) pour donner du O(1/n²), mais pour le voir il faut pousser à l'ordre 2.

Ah oui en effet j'avais oublié le o(1) et on ne peut pas conclure sur la série ( -1/2n + o(1) ).
Ok merci

Wait j'ai toujours un bug !

le DL à l'ordre 1 donne : Un+1 - Un = -1/2n + o(1/n) + o(1)
or 1/n = o(1)
donc Un+1 - Un = -1/2n + o(1) et on ne peut rien dire

le DL à l'ordre 2 donne : Un+1 - Un = 1/4n² +o(1/n) + o(1/n²)
or 1/n² = o(1/n)
donc Un+1 - Un = 1/4n² +o(1/n)
la série (1/4n²) converge et la série (1/n) diverge d'où la série (Un+1 - Un) diverge

le DL à l'ordre 2 donne : Un+1 - Un = -1/3n² + o(1/n²) + 1//4n² - 1/6n^3 + o(1/n^3)
or 1/n^3 = o(1/n²)
donc Un+1 - Un = -1/3n² + o(1/n²) + 1//4n² - 1/6n^3
les 4 séries converges donc la série (Un+1 - Un) converge

Encore une fois c'est étrange de trouver une série qui diverge ou converge en fonction de l'ordre du DL non ^^
help ^^

Ta conclusion pour le DL2 est fausse en général, d'autant plus ici que le o(1/n) est un O(1/n²). Si tu t'en tiens à un o(1/n), tu ne peux simplement pas conclure, il y a des séries de terme général o(1/n) qui convergent, d'autres qui divergent.

Si tu veux optimiser un peu tes calculs : comme t'as affaire à des fonctions très régulières, tu peux à chaque étape améliorer l'ordre de grandeur de tes restes d'un cran.

Pour le DL1 : ln(1+1/n) = 1/n + O(1/n²) te donne U_{n+1} - U_n = -1/2n + O(1/n) + O(1/n²).

Pour le DL2 : ln(1+1/n) = 1/n - 1/2n² te donne U_{n+1} - U_n = 1/4n² + O(1/n²) et t'as fini, sans besoin de DL3.

Quand t'as des infos à prendre (ici l'ordre de grandeur des restes dans un DL), utilise-les, ne les oublie pas.

Ah oui le théorème dit que la série d'une suite négligeable devant une suite dont la série converge, converge aussi. Mais ça ne marche pas lorsque les suites divergent, j'ai confondu ...
D'accord j'ai compris pourquoi ma conclusion sur le DL2 est fausse.

Je me suis posé la question pour les DL, lorsqu'à la fin du calcul on se retrouve avec deux o(), par exemple o(1/n) et o(1/n^3) il faut bien garder celui dont l'ordre est le plus bas non ?

Pour le DL1 : ln(1+1/n) = 1/n + O(1/n²) comment est ce que tu vois que le o(1/n) est un O(1/n²) ?

"Quand t'as des infos à prendre (ici l'ordre de grandeur des restes dans un DL), utilise-les, ne les oublie pas. " d'où tu les sorts ces infos ? xD

En tout cas merci

Parce que ln(1 + 1/n) = 1/n - 1/(2n^2) +...

@arnau c'est le sujet qu'on a eu "pour les vacances" lol ?